Задачка из учебника по функану

[provincialka]

B@R5uk в сообщении #808694 писал(а):

А можно ли построить красивый пример, который не будет использовать эту особенность "обрезанных" метрических пространств?

Высказывание, надо сказать, трудно формализуемое. Какая-то "ненормальность" в этом пространстве должна быть, ведь "обычно" - то есть в привычных нам примерах, шары так не поступают.

[Rasool]

Теорема 3 из учебника по функану Колмогорова, Фомина, глава II, параграф 3, п.4, стр. 78. Пополнение пространства.

Цитата:

Теорема 3. Каждое метрическое пространство $R$ имеет пополнение, и это пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки из $R$.
Доказательство.
Начнем с единственности. Нам нужно доказать, что если $R*$ и $R**$ - два пополнения пространства R, то существует такое взаимно однозначное отображение $\psi$ пространства $R*$ на $R**$, что
1) $\psi ( x )$ для всех $x \in R$;
2) если $x** = \psi ( x* )$ и $y** = \psi ( y* )$, то $\rho_1 (x*, y*) = \rho_2 (x**, y**)$, где $\rho_1$ - расстояние в $R$, а $\rho_2$ - расстояние в $R**$.
Отображение $\psi$ определим следующим образом. Пусть $x*$ - произвольная точка из $R*$. Тогда по определению пополнения существует последовательность ${x_n}$ точек из $R$, сходящаяся к $x*$. Точки ${x_n}$ входят и в $R**$. Так как $R**$ полно, то ${x_n}$ сходится в $R**$ к некоторой точке $x**$. Ясно, что $x**$ не зависит от выбора последоватльности ${x_n}$, сходящейся в точке $x*$. Положим $\psi ( x* ) = x**$. Отображение $\psi$ и есть искомое изометрическое отображение.
Действительно, по построению $\psi ( x ) = x$ для всех x \in R. Далее, пусть
${x_n} \rightarrow x*$ в $R*$ и ${x_n} \rightarrow x**$ в $R**$,
${y_n} \rightarrow y*$ в $R*$ и ${y_n} \rightarrow y**$ в $R**$,
тогда в силу непрерывности расстояния
$\rho_1 (x*, y*) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\rho_1 (x_n, y_n)} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\rho (x_n, y_n)}$
и, аналогично,
$\rho_1 (x**, y**) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\rho_2 (x_n, y_n)} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\rho (x_n, y_n)}$
Следовательно, $\rho_1 (x*, y*) = \rho_2 (x**, y**)$.

Мне тут не понятно, что такое и откуда взялось \rho (x_n, y_n)$ и почему $\lim_{n \rightarrow \infty} {\rho_1 (x_n, y_n)} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\rho (x_n, y_n)}$ и $\lim_{n \rightarrow \infty} {\rho_2 (x_n, y_n)} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\rho (x_n, y_n)}$
Это следует из $\rho (x_n, y_n) = \rho_1 (x_n, y_n)$ и $\rho (x_n, y_n) = \rho_2 (x_n, y_n)$? А почему это так?

[provincialka]

Потому что метрика в пополнении индуцирована и исходного пространства.