Кстати, для извлечения корня из числа

методом Ньютона с точностью до целых достаточно 20 итераций (шагов). А вашим способом вы будете вычитать все 46340 раз (это и есть искомый корень).
В общем, опять повторю: все упирается в те вычислительные средства, которые вы можете использовать.
Счёты.
Реализация такая. Разбиваем числа на грани по две цифры, начиная справа (с младших разрядов; если число не целое — начиная от десятичной запятой):

.
Вычитаем из старшей грани последовательные нечётные числа, начиная с

(сколько получится):

.
Вычли

числа, значит, старшая цифра корня —

.
К остатку

сносим следующую грань (получаем

); к последнему вычтенному числу прибавляем

(

). Вычитаем из

последовательные нечётные числа, начиная с

:

.
Вычли

чисел, значит, следующая цифра корня —

; получаем

.
К остатку

сносим следующую грань (получаем

); к последнему вычтенному числу прибавляем

(

).
Вычитаем из

последовательные нечётные числа, начиная с

:

.
Вычли

числа, значит, следующая цифра корня —

; получаем

.
К остатку

сносим следующую грань (получаем

); к последнему вычтенному числу прибавляем

(

).
Вычитаем из

последовательные нечётные числа, начиная с

:

.
Вычли

числа, поэтому следующая цифра корня —

; получаем

.
К остатку

сносим последнюю грань (получаем

); к последнему вычтенному числу прибавляем

(

).
Так как

, то вычесть следующее число (

) нельзя, поэтому последняя цифра целой части корня равна

, а целая часть корня равна

.
Количество вычитаний в данном случае равно

и оказалось меньше числа итераций в методе Ньютона.
При желании можно продолжить вычисления и найти цифры дробной части. Например, чтобы найти цифру десятых, вычитаем из

(

сносится уже из дробной части заданного числа) последовательные нечётные числа, начиная с

.
P.S. Хорошо потренировавшись, эти вычисления на счётах можно проделать очень быстро.