Страх перед нулём и единицей

[Urnwestek]

Наткнулся я недавно на статью одного блоггера, который призывает не бояться естественных доопределений, вроде $0^0=1$, $\sum \emptyset = 0$, $\prod \emptyset = 1$, и т.д. Мне стало интересно, действительно ли все подобные доопределения ещё не определены повсеместно именно из-за «страхов и предрассудков» или есть ещё причины? В частности: когда бывает удобно считать $0^0 \neq 1$? Сама статья: http://lj.rossia.org/~dmitri_pavlov/11307.html

[patzer2097]

Urnwestek в сообщении #813808 писал(а):

$\sum \emptyset = 0$, $\prod \emptyset = 1$

Вы, видимо, имели в виду $\sum\limits_{\varnothing}\mathrm{something}=0$ и $\prod\limits_{\varnothing}\mathrm{something}=1$. Ну это вполне естественные соглашения, чего не сказать о

Urnwestek в сообщении #813808 писал(а):

$0^0=1$

[Nemiroff]

Urnwestek в сообщении #813808 писал(а):

В частности: когда бывает удобно считать $0^0 \neq 1$?

Да никогда.

patzer2097 в сообщении #813885 писал(а):

Ну это вполне естественные соглашения, чего не сказать о

Почему же? Здесь как раз смысл вполне прозрачен.

[patzer2097]

Nemiroff в сообщении #813893 писал(а):

Почему же? Здесь как раз смысл вполне прозрачен.

Вы имеете в виду $\lim_{x\rightarrow0} x^x=1$? Но я могу с таким же успехом написать, к примеру, $\lim_{x\rightarrow0} x^{\log_x2}=2$, и тогда нам придется положить и $0^0=2$?

[Nemiroff]

patzer2097 в сообщении #813897 писал(а):

Вы имеете в виду $\lim_{x\rightarrow0} x^x=1$?

Нет конечно, зачем вы мне подобное приписываете?
Я имею в виду, что натуральные числа --- конечные ординалы. Либо вспоминаем теорию множеств, ответ один и тот же.

-- Пн янв 13, 2014 20:50:21 --

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentia ... er_of_zero

[patzer2097]

Nemiroff в сообщении #813898 писал(а):

Нет конечно, зачем вы мне подобное приписываете? Я имею в виду, что натуральные числа --- конечные ординалы.

да уж, вот это аргумент

Nemiroff в сообщении #813898 писал(а):

Либо вспоминаем теорию множеств, ответ один и тот же.

ога, в системе аксиом $ZFC\cup\{0^0=1\}$ это именно так

[Nemiroff]

patzer2097 в сообщении #813914 писал(а):

да уж, вот это аргумент

patzer2097 в сообщении #813914 писал(а):

ога, в системе аксиом $ZFC\cup\{0^0=1\}$ это именно так

Мда. Всё понятно. Не смею прерывать веселье.

[patzer2097]

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #813919 писал(а):

Мда. Всё понятно. Не смею прерывать веселье.

да ладно Вам, писали бы еще

[Nemiroff]

patzer2097 в сообщении #813932 писал(а):

да ладно Вам, писали бы еще

А смысл? Одно дело, если вы не знаете, почему теоретико-множественная интерпретация однозначно даёт ответ $0^0=1$. Другое дело, если вы не знаете и насмехаетесь.

[Aritaborian]

Nemiroff в сообщении #813937 писал(а):

теоретико-множественная интерпретация однозначно даёт ответ $0^0=1$.

Другие-то не дают.

[Nemiroff]

Aritaborian в сообщении #813939 писал(а):

Другие-то не дают.

Ну смотрите, ординалы --- один, множества --- один, стандартный математический анализ --- операция не определена. Предельные переходы --- это вообще бред.
С учётом того, что логика все-таки более фундаментальная дисциплина, чем математический анализ, единица кажется отличным решением. Плюс (я выше ссылку давал) решаются некоторые мелкие чисто технические проблемы типа $(x^n)'$.

[Aritaborian]

Nemiroff в сообщении #813944 писал(а):

Предельные переходы --- это вообще бред.

На разрешение остальных неопределённостей тоже болт кладём? Окей, скажите нам, чему равны $\frac00$, $\frac\infty\infty$ и прочие, сделаем табличку и будем ею руководствоваться.

[patzer2097]

Nemiroff в сообщении #813937 писал(а):

Одно дело, если вы не знаете, почему теоретико-множественная интерпретация однозначно даёт ответ $0^0=1$. Другое дело, если вы не знаете и насмехаетесь.

Вас послушать - окажется, что я тут ничего не знаю А про то, однозначен ли ответ, я выше уже написал

Nemiroff писал(а):

С учётом того, что логика все-таки более фундаментальная дисциплина, чем математический анализ...

...можно не обращать внимания на противоречия, которые появятся в анализе?

[Nemiroff]

patzer2097 в сообщении #813951 писал(а):

можно не обращать внимания на противоречия, которые появятся в анализе?

Никаких противоречий не появится. В анализе $0^0$ не определено. Ничто не мешает его определить до единицы. Можно доопределить и до четверки, к примеру, но это нелогично ни в каком смысле. А единица вполне сочетается с математической логикой --- основами, между прочим.

Aritaborian в сообщении #813949 писал(а):

:?:

Они не имеют отношения к задаче.

-- Пн янв 13, 2014 22:06:16 --

Aritaborian в сообщении #813949 писал(а):

На разрешение остальных неопределённостей тоже болт кладём?

Какие неопределённости? Я же не "неопределённость вида $0^0$" раскрываю.

Aritaborian в сообщении #813949 писал(а):

Окей, скажите нам, чему равны $\frac00$, $\frac\infty\infty$ и прочие, сделаем табличку и будем ею руководствоваться.

Какие-то галлюцинации.

[Aritaborian]

Nemiroff в сообщении #813954 писал(а):

Они не имеют отношения к задаче.

Может быть. Но почему использование предельных переходов — бред?