Сходимость функций из пространства основных функций

[Felt]

Хорошо, но выходит, если сказать, что предельная функция - не нулевая, то сходимость всё же равномерная?

[Otta]

Не поняла Вашу идею. Сказать не получится, от Вас не зависит, нулевая или ненулевая. А во-вторых, в линейном пространстве без ограничения общности можно работать только с нулевым значением предела последовательности, переопределив исходную на необходимый сдвиг.

Так что Вы хотели предложить?

[SpBTimes]

Felt
Не понял, почему если взять $g_k = f_k - f$ ваша разность не может играть роль шапочки, которая сдвигается?

[Felt]

Вообще, почему меня интересовал этот вопрос - я хотел применить это в доказательстве теоремы о том, что $\psi_k(y)=( f(x), \varphi_k (x,y))$ сходится к $\psi(y)$ равномерно, если $\varphi_k (x,y)$ сходится равномерно к $\varphi (x,y)$. Вообще сходится на D, но мне нужно в этом шаге доказать, что именно равномерно.
Меня не совсем устраивает доказательство этой части в учебнике, поэтому пытаюсь найти другое.

-- 12.01.2014, 21:30 --

SpBTimes в сообщении #813552 писал(а):

Felt
Не понял, почему если взять $g_k = f_k - f$ ваша разность не может играть роль шапочки, которая сдвигается?

Я ведь сдвигал до какого-то конечного значения, например, к нулю. Если бесконечно вправо, то да, разница всегда будет высотой шапочки.

[provincialka]

Felt в сообщении #813554 писал(а):

Меня не совсем устраивает доказательство этой части в учебнике, поэтому пытаюсь найти другое.

Бог в помощь, конечно. Только такое небольшое замечание: зачем бы математики вводили два вида сходимости, если один следует из другого? Это так, информация к размышлению...

[SpBTimes]

Это следствие теоремы об изменении порядка предела и интеграла.

[Felt]

provincialka в сообщении #813557 писал(а):

Бог в помощь, конечно. Только такое небольшое замечание: зачем бы математики вводили два вида сходимости, если один следует из другого? Это так, информация к размышлению...

Но у меня же есть конкретное условие для функции, и именно для такой функции я предположил. С другой стороны я просто не встречался в курсе данного предмета с проблемой поточечной сходимости основной функции к основной

[Otta]

Felt в сообщении #813554 писал(а):

Вообще сходится на D, но мне нужно в этом шаге доказать, что именно равномерно.

Более того, не только сама последовательность, но и последовательности всех производных. Никуда Вы не денетесь.

SpBTimes в сообщении #813558 писал(а):

Это следствие теоремы об изменении порядка предела и интеграла.

Это еще может быть следствием, если $f$ локально интегрируема, что совсем необязательно.

[Felt]

SpBTimes в сообщении #813558 писал(а):

Это следствие теоремы об изменении порядка предела и интеграла.

Мне нужно в общем виде, не только для регулярных обобщённых функций

[SpBTimes]

Otta
Ой, это мой ляп, не подумал.

[Felt]

Otta в сообщении #813563 писал(а):

Более того, не только сама последовательность, но и последовательности всех производных. Никуда Вы не денетесь.

Да, это уже доказано раннее, в этой же теореме. То есть не это, а то, $D^\alpha \psi=(f,D^{\alpha} \varphi)$. Поэтому если $\varphi_k$ сходится на D, то достаточно доказать для одного значения $\alpha$. В том случае, если бы каждая основная функция могла сходиться только равномерно к основной функции, как я предположил.

[Otta]

Felt в сообщении #813561 писал(а):

Но у меня же есть конкретное условие для функции, и именно для такой функции я предположил.

Felt, из поточечной не следует равномерная - пример смотрели выше, - а Вам ведь надо еще и сходимость всех производных обеспечить, и тоже равномерную. Это очень жесткое требование, на самом деле. Даже если бы была равномерная сходимость, то оттуда бы еще не следовала равномерная сходимость производных.
А именно это:

Felt в сообщении #813570 писал(а):

о есть не это, а то, $D^\alpha \psi=(f,D^{\alpha} \varphi)$. Поэтому если $\varphi_k$ сходится на D, то достаточно доказать для одного значения $\alpha$

специфика именно этого пространства, где сходимость функций означает сходимость каждой такой последовательности. Специфика таким образом определенной сходимости, а не финитности и бесконечной гладкости.

Еще раз: для произвольной последовательности из поточечной сходимости не следует равномерная, а даже если есть равномерная, то не факт, что производные сходятся (тем более равномерно), а даже если сходятся, то не факт, что сходятся вторые... и т.д.