задача на метод математической индукции

[Злобный Пес]

Помогите пoжалуйста доказать по индукции, что

$\frac{1} {1*2*3}+\frac{1} {2*3*4}+...+\frac{1} {n*(n+1)*(n+2)}=\frac{1} {4}- \frac{1} {2*(n+1)*(n+2)}$

[KiberMath]

Хм
а в чем проблема? База индукции очевидно, индукционный шаг вроде бы тоже...

[Злобный Пес]

KiberMath
база и шаг сделаны а вот для
$\n=k+1$
а вот доказать через шаг не могу

[kekocaumay]

надо заметить, что

$\frac{1} {n*(n+1)*(n+2)}$ $=$ $\frac{1} {2*n*(n+1)}$ $-$ $\frac{1} {2*(n+1)*(n+2)}$
по индукции, когда n+1, мы получим $\frac{1} {4}$ -$\frac{1} {2*(n+1)*(n+2)}$+$($$\frac{1} {2*(n+1)*(n+2)}$-$\frac{1} {2*(n+2)*(n+3)}$ $)$ $=$ $\frac{1} {4}$ $-$ $\frac{1} {2*(n+2)*(n+3)}$

[KiberMath]

kekocaumay
мда... вот только как бы это заметить.
Я тут пытлася разложить
$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2(n+2)}$
и отталкиваться от этого.. но вот пока еще недобил я это...

Как вы пришли к тому, что нужно именно такое разложение?

Добавлено спустя 1 минуту 57 секунд:

хм дорешал с помощью своего разложения =)

[Злобный Пес]

а как доказывается $\frac{4^n}{n+1}<=\frac{(2n)!}{(n!)^2}$
PS:
$(n!)$ -факториал

[KiberMath]

Злобный Пес
Рассмотрите
$\frac{4^n}{n+1}$ и $\frac{4^{(n+1)}}{n+2}$

$\frac{(2n)!}{(n!)^2}$ и $\frac{(2(n+1))!}{((n+1))!^2}$

[Алексей К.]

Злобный Пес писал(а):

$\frac{4^n}{n+1}<=\frac{(2n)!}{(n!)^2}$

Значки "меньше (больше) или равно" пишутся как \le и \ge: "a\le b", "b\ge a" --- $a\le b$, $b\ge a$.