Шаловливые числа Фибоначчи

[Ktina]

Число Фибоначчи назовём шаловливым, если оно представимо в виде

$$\left|\dfrac{k^3+7}{k-2}\right|$$

при некотором целом $k$.
Найти все шаловливые числа Фибоначчи и доказать, что других нет.

[gris]

А что если обратным перебором?
Вначале, конечно, отобрать среди $(k-2)$ делители пятиалтынного. А потом посмотеть, какие из них дадут эти ваши числа кого угодно.

[Nemiroff]

gris в сообщении #813413 писал(а):

А потом посмотеть, какие из них дадут эти ваши числа кого угодно.

Штучки три наберётся.

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #813405 писал(а):

назовём шаловливым

Сублимация.

[denisart]

Ktina в сообщении #813405 писал(а):

Число Фибоначчи назовём шаловливым, если оно представимо в виде

$$\left|\dfrac{k^3+7}{k-2}\right|$$

при некотором целом $k$.
Найти все шаловливые числа Фибоначчи и доказать, что других нет.

$| (k^{3}+7 )/(k-2) | = |k^2+2k+4+15/(k-2) |$

$k-2=1; k-2=3; k-2=5; k-2=15$ и смотрим.
и конечно -1, -3,- 5, -15

[Nemiroff]

denisart в сообщении #813416 писал(а):

и смотрим.

gris уже написал. А вы забыли про отрицательные. И обратно вспомнили.

[denisart]

Nemiroff в сообщении #813418 писал(а):

denisart в сообщении #813416 писал(а):

и смотрим.

gris уже написал. А вы забыли про отрицательные.

Уже подправил.

[nnosipov]

Ну, разрешили бы этому $k$ быть рациональным, что ли.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #813422 писал(а):

Ну, разрешили бы этому $k$ быть рациональным, что ли.

Ну, пока свет не дали, так и быть.

[Nemiroff]

nnosipov в сообщении #813422 писал(а):

Ну, разрешили бы этому $k$ быть рациональным, что ли.

А разве что-то изменится?

[nnosipov]

Nemiroff в сообщении #813438 писал(а):

А разве что-то изменится?

Нет, конечно. Просто на один шажок (вполне содержательный, кстати) длиннее рассуждение станет. Уже можно предлагать на школьной или районной олимпиаде.