Приведение к каноническому виду квадратичной формы

[Otta]

Limit79 в сообщении #813253 писал(а):

Про знакоопределенность - можно ли использовать критерий Сильвестра?

Для чего именно?

Limit79 в сообщении #813253 писал(а):

А если в выражении квадраты и свободный член, разумно ли это называть каноническим видом?

По большому счету, неразумно пытаться делать таким образом сформулированные задания, - если Вы, конечно, правильно его цитируете. (А еще неразумнее их давать, да).

[Limit79]

Otta в сообщении #813267 писал(а):

Для чего именно?

Если не учитывать линейную часть и свободный член. Хотя все равно бред получится, ведь от отброшенной части знакоопределенность тоже зависит.

Цитирую верно, более того, в методичке 20 вариантов этого задания, и везде линейная часть и свободный член есть.

Буду уточнять.

[Otta]

Limit79 в сообщении #813253 писал(а):

Кстати, читал где-то про взаимосвязь между знакоопределенностью и знаками коэффициентов при квадратах в каноническом виде (т. е. собственных значений), но не помню где, был бы очень благодарен, если бы кто напомнил, чтобы хоть как-то проверить.

А самому придумать, раз уж до учебника руки не доходят? )
Напишите канонический вид квадратичных форм для двумерного случая. Сколько всего может быть принципиально различных ситуаций со знаками коэффициентов? Какие они по знакоопределенности? и т.д.

Limit79 в сообщении #813270 писал(а):

Если не учитывать линейную часть и свободный член.

Для квадратичной формы - используйте на здоровье. Хотя...Вам ее все равно к нормальной форме приводить, там знакоопределенность уже очевидна. Если Вам все еще не очевидна - разъясните себе этот момент.

[Limit79]

Otta
Руки доходят, штук пять пересмотрел, не нашел, но помню, что где-то видел.

Раз: $x^2+y^2$ - положительная
Два: $-x^2+y^2$ - неопределенная
Три: $x^2-y^2$ - неопределенная
Четыре: $-x^2-y^2$ - отрицательная

Ну коль в условии говорится, что дана квадратичная форма, а дана не квадратичная форма, то задание решения не имеет.

[Otta]

Не все записал. Например, $x^2$ (в $R^2$). А?

Limit79 в сообщении #813273 писал(а):

что где-то видел.

Да везде есть.

[Limit79]

Otta
Тогда еще:
$x^2$ - положительная
$-x^2$ - отрицательная
и для $y$ то же самое

Нашел. "Основы линейной алгебры. А. И. Мальцев"

Спасибо Вам за помощь!

[Otta]

Limit79 в сообщении #813278 писал(а):

$x^2$ - положительная

Не. Неотрицательная. Это не то же. См. полуопределенные квадратичные формы.

[Limit79]

Otta
А, да. Сплю уже на ходу

[bot]

У приличных людей квадратичная форма + линейная форма + константа
называется квадрикой.

[Otta]

bot
Тут тоже не все однозначно. У других приличных людей квадрикой называется прообраз нуля того, что у первых приличных людей называется квадрикой.