Приведение к каноническому виду уравнения кривой

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Столкнулся с такой задачей: Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду, определить тип этой линии и начертить ее.

$$x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0$$

Нахожу угол поворота:

$$\ctg(2 \alpha) = \frac{1-1}{-2} = 0 \Rightarrow 2 \alpha = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}$$

Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} x=\frac{\sqrt{2}}{2} x' - \frac{\sqrt{2}}{2} y'\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2} x' + \frac{\sqrt{2}}{2} y' \end{matrix}\right.$$

Получаю:

$$ \left (y'+\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2 = 2 \cdot 2 \sqrt{2} \left ( x' - \frac{49 \sqrt{2}}{32} \right )$$

Далее:

$$\left\{\begin{matrix} x'' = x' - \frac{49 \sqrt{2}}{32} \\ y'' = y'+\frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.$$

Получаю:

$$ (y'')^2 = 2 \cdot 2 \sqrt{2} x''$$

Это каноническое уравнение параболы.

А как ее построить? Как найти параметры?

И верна ли логика решения?

Параметры, которые определяет вольфрам альфа:

(Оффтоп)

[Otta]

Limit79 в сообщении #813196 писал(а):

А как ее построить? Как найти параметры?

То есть как - как построить? Строите в каноническом виде - иначе зачем Вы туда приводили, и вертаете в старые координаты. То есть обратный перенос+обратный поворот.
Все объекты (точки, прямые и т.д.) строятся так же.
Все длины - просто находите для канонического вида, для исходного они те же. (Почему?)

[iifat]

Начну с конца.

Limit79 в сообщении #813196 писал(а):

Как найти параметры?

Странный вопрос. Параметры найти по формулам. Мне таки удалось вас удивить? Формул не вспомню, но, по-моему, в любом учебнике их есть. Их там просто таки не может не есть.

Limit79 в сообщении #813196 писал(а):

А как ее построить?

Ещё один странный вопрос. Как построить параболу? Ну, хотя бы по точкам. Либо, постигши её примерную форму, нарисовать приблизительно от руки. Рисуем оси с двумя штрихами, рисуем в них параболу, потом рисуем в них оси с одним штрихом, в тех — оси без штрихов, и, наконец, заметаем следы — стираем оси со штрихами, оставляя чистый, незамутнённый образ параболы.

Limit79 в сообщении #813196 писал(а):

И верна ли логика решения?

Логика верна, вот только от проверки арифметики — увольте.

[Limit79]

Otta
Не вот так?

(Оффтоп)

-- 12.01.2014, 08:54 --

iifat в сообщении #813201 писал(а):

Параметру найти по формулам.

Я, видимо, не очень корректно поставил вопрос. Для уравнения

$$ (y'')^2 = 2 \cdot 2 \sqrt{2} x''$$

координаты центра будут $(0;0)$, но для исходной системы координат центр же будет в другой точке? С остальными тоже самое.

-- 12.01.2014, 08:56 --

iifat в сообщении #813201 писал(а):

Логика верна, вот только от проверки арифметики — увольте.

Арифметику проверял в матпакетах, но, чувствую, все равно где-то что-то не так.

[Otta]

Limit79 в сообщении #813202 писал(а):

Не вот так?

Ну, типа так. Только Ваш ответ тогда с вольфрамовским не сойдется, сдвиг не туда.

Limit79 в сообщении #813202 писал(а):

координаты центра будут $(0;0)$, но для исходной системы координат центр же будет в другой точке?

И чё?

[Limit79]

Otta в сообщении #813205 писал(а):

Только Ваш ответ тогда с вольфрамовским не сойдется, сдвиг не туда.

То есть ошибки в арифметике?

Otta в сообщении #813205 писал(а):

И чё?

Просто я хочу из своего решения, получить те же параметры, которые пишет вольфрам альфа, дабы хоть как-то проверить результат.

[Otta]

Я в самом первом своем посте ответила, как это сделать, что непонятно, скажите.

[Limit79]

Otta в сообщении #813199 писал(а):

Все объекты (точки, прямые и т.д.) строятся так же.
Все длины - просто находите для канонического вида, для исходного они те же. (Почему?)

Например, координаты фокуса: $F \left ( \frac{p}{2} ; 0 \right )$, у меня $p= 2 \sqrt{2}$, то есть $F \left ( \sqrt{2} ; 0 \right )$, а у вольфрама $F(3;2)$

[Otta]

Limit79 в сообщении #813212 писал(а):

координаты фокуса: $F \left ( \frac{p}{2} ; 0 \right )$, у меня $p= 2 \sqrt{2}$, то есть $F \left ( \sqrt{2} ; 0 \right )$

Для какой параболы?

Limit79 в сообщении #813212 писал(а):

а у вольфрама $F(3;2)$

А у Вольфрама для какой?

[Limit79]

Otta
У меня после двух замен координат, у него - в исходной. А вот как преобразовать из моих в исходные?

[Otta]

Перечитать собственное решение, видимо. И задуматься, зачем в нем столько буков и как их применять.

Первую замену аккуратно запишите, кстати. А то непонятно, что через что там выражается, явная опечатка.

[Limit79]

Otta

$$\left\{\begin{matrix} x=\frac{\sqrt{2}}{2} x' - \frac{\sqrt{2}}{2} y'\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2} x' + \frac{\sqrt{2}}{2} y' \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} x'' = x' - \frac{49 \sqrt{2}}{32} \\ y'' = y'+\frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.$$

Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} x' = x'' + \frac{49 \sqrt{2}}{32} \\ y' = y''-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.$$

и

$$\left\{\begin{matrix} x = \frac{\sqrt{2}}{2} x'' - \frac{\sqrt{2}}{2} y'' + \frac{65}{32} \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} x'' + \frac{\sqrt{2}}{2} y'' + \frac{33}{32} \end{matrix}\right.$$

В $x''Oy''$ фокус $F(\sqrt{2};0)$, тогда, в $xOy$ будет $F \left (\frac{97}{32}; \frac{65}{32} \right )$

-- 12.01.2014, 09:34 --

Otta в сообщении #813215 писал(а):

Первую замену аккуратно запишите, кстати. А то непонятно, что через что там выражается, явная опечатка.

Спасибо, исправил.

[Otta]

С поворотом все ясно, поворот правильный. Ищите ошибку в сдвиге. Кстати, из каких соображений Вы его определяли?

[Limit79]

Otta
После поворота выделил полные квадраты, получил:

$$ \left (y'+\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2 = 2 \cdot 2 \sqrt{2} \left ( x' - \frac{49 \sqrt{2}}{32} \right )$$

И то что в скобках, взял за новые координаты, ну то есть перенес центр.

[Otta]

Limit79
Вы меня нынче удивляете )) Вы какого совета ждете - очевидного? Ладно, дарю: пересчитайте.