Определение бесконечно большой функции

[kis]

Здравствуйте. Нужны следующие определения:

1) $f(x) \to + \infty$ при $x \to a$ "По Коши"
2) $f(x) \to + \infty$ при $x \to a-0$ "По Коши"
3) $f(x) \to + \infty$ при $x \to -\infty$ "По Коши"

Нашел вот что:
Пусть $a \in R$ или является одним из символов $+\infty$, $-\infty$, $x_0 - 0$, $x_0 + 0$ ($x_0 \in R$). Функция $f$ называется бесконечно малой (бесконечно большой) при $x \to a$, если ${\lim _{x \to a}}f(x) = 0 \ ({\lim _{x \to a}}f(x) = \infty )$
Могу на основе этого определения составить нужные мне, но, мне кажется, это определение не по Коши (т.е. не на языке эпсилон-дельта окрестностей). Было бы хорошо найти что-нибудь из проверенного учебника (Фихтенгольц, например), иначе придется самому формулировать определения, не хорошо.

[_Ivana]

А по-моему как раз самому и хорошо. Буквально вчера просил сына-восьмиклассника генерировать подобные определения на языке эпсилон-дельта. Начните с п. 1. Если тяжело с функцией, попробуйте сначала с последовательностью.

[kis]

Я так и поступил, но не знаю, насколько правильно:

1) $f(x) \to + \infty$ при $x \to a$ "По Коши"
Функция $f(x)$ называется бесконечно большой знака плюс (минус) в точке $a$ (при $x \to a$), если
$\forall A > 0 \exists \delta > 0 \ \forall x \in X: f(x) > A \ (f(x) < -A)$ при $0 < |x - a| < \delta $

2) $f(x) \to + \infty$ при $x \to a-0$ "По Коши"
Функция $f(x)$ называется бесконечно большой знака плюс в точке $a$ слева (при $x \to a - 0$), если
$\forall A > 0 \exists \delta > 0 \ \forall x \in X: f(x) > A $ при $a - \delta < x < a$

3) $f(x) \to + \infty$ при $x \to -\infty$ "По Коши"
Функция $f(x)$ называется бесконечно большой знака плюс при $x \to +\infty$, если
$\forall A \, \exists x_0 \in X \, \forall x \in X : f(x) > A$ при $x > x_0$

$(exist)$ перед символом - это квантор существования, он не отображается в латехе.

upd: по-нормальному написал квантор существования

[popolznev]

kis в сообщении #813101 писал(а):

$(exist)$ перед символом - это квантор существования, он не отображается в латехе.

Отображается, просто надо писать exists, а не exist. Вот: $\exists$

[_Ivana]

1. Я совсем не знаток латекса, но не верю, что в нем нет квантора существования.
2. модуль по определению больше или равен нулю, а исключать саму предельную точку.... не знаю, надо ли. Я бы не стал.
3. Константы для определения "бесконечностей" имхо не обязательно делать бОльшими нуля - квантор всеобщности позаботится об их разнообразии сам. С маленькими эпсилон-дельтами это нужно только для красивого задания окрестностей конечных точек.
4. В последнем пункте у вас аргумент не туда улетает.

ЗЫ пока набирал, про квантор сказали.

[provincialka]

_Ivana в сообщении #813111 писал(а):

2. модуль по определению больше или равен нулю, а исключать саму предельную точку.... не знаю, надо ли. Я бы не стал.

Почему? В самой точке $a$ значение функции может быть произвольным.

[_Ivana]

Хорошо, если сама точка не входит в область определения функции, то она исключается автоматически. А если входит, тогда имхо надо сказать какие-то дополнительные слова/символы. Иначе мои обрывочные воспоминания с определением предела по Гейне и его эквивалентности Коши встречаются с неким противоречием...

UPD освежил в памяти Гейне, забыл про явно оговоренную проколотую окрестность. Все встало на свои места, спасибо.

[kis]

_Ivana в сообщении #813111 писал(а):

1. Я совсем не знаток латекса, но не верю, что в нем нет квантора существования.
2. модуль по определению больше или равен нулю, а исключать саму предельную точку.... не знаю, надо ли. Я бы не стал.
3. Константы для определения "бесконечностей" имхо не обязательно делать бОльшими нуля - квантор всеобщности позаботится об их разнообразии сам. С маленькими эпсилон-дельтами это нужно только для красивого задания окрестностей конечных точек.
4. В последнем пункте у вас аргумент не туда улетает.

ЗЫ пока набирал, про квантор сказали.

3. Да, это требование избыточно. Дело в том, что у меня в тетради одновременно записаны два определения. Для $f(x) \to +\infty$ и для $f(x) \to -\infty$. А именно:

$f(x) \to + \infty \, (-\infty)$ при $x \to a-0$ "По Коши"
Функция $f(x)$ называется бесконечно большой знака плюс (знака минус) в точке $a$ слева (при $x \to a - 0$), если
$\forall A > 0 \exists \delta > 0 \ \forall x \in X: f(x) > A (f(x) < -A) $ при $a - \delta < x < a$

4. изменил, спасибо
$f(x) \to + \infty$ при $x \to -\infty$ "По Коши"
Функция $f(x)$ называется бесконечно большой знака плюс при $x \to -\infty$, если
$\forall A \, \exists x_0 \in X \, \forall x \in X : f(x) > A$ при $x > x_0$

p.s. всем большое спасибо!

[Otta]

kis в сообщении #813132 писал(а):

Функция $f(x)$ называется бесконечно большой знака плюс при $x \to -\infty$, если
$\forall A \, \exists x_0 \in X \, \forall x \in X : f(x) > A$ при $x > x_0$

при $x<x_0$.

[kis]

да, точно. я думал поправил "не туда улетающий аргумент", оказывает нет. спасибо!