Неинерциальные системы отсчёта

[tech]

Здравствуйте.
На горизонтальной поверхности расположены два диска радиусом $R$. Один из них (с центром в точке $O'$) обкатывает неподвижный диск (с центром в точке $O$) без проскальзывания. Скорость центра движущегося диска равна $V_0$. По движущемуся диску с постоянной скоростью $v'=V_0/2$ относительно него к центру диска ползет муха массой $m$. Найти величину силы трения, действующей на муху, когда $v'$ и $V_0$ лежат на одной прямой и расстояние от мухи до точки $O'$ равно $R/2$ (см. рис.)

Есть следующие вопросы вопросы: 1. Если сложить вектор угловой скорости вращения диска относительно собственной оси и вектор угловой скорости вращения точки $O'$ относительно точки $O$, то я получу суммарный вектор угловой скорости или бред?
2. Если это возможно, то как с учетом этого будет выглядеть выражение для центробежной силы, ведь в формуле есть $vec(r)$ - радиус-вектор тела в НСО.
В общем, вот что у меня вышло (с ответом не сошлось):
$w_{s}=3V_0/2R$ - суммарная угловая скорость
Сила трения по x (горизонтальная в плоскости рисунка ось) $F_{трx}=F_{цб} sina=9m(V_{0})^2/(8R)$, где $a$ - угол между $OO'$ и $OA$ (A - точка, в которой находится муха)
По y $F_{трy}=F_{cent} cosa-F_{cor}=6m(V_{0})^2/(2R)$, где $F_{cent}$ и $F_{cor}$ - центробежная и кориолисова силы

[Munin]

tech в сообщении #812849 писал(а):

Если сложить вектор угловой скорости вращения диска относительно собственной оси и вектор угловой скорости вращения точки $O'$ относительно точки $O$, то я получу суммарный вектор угловой скорости или бред?

Бред.

Угловые скорости можно складывать, когда они вокруг одного центра. Иначе складываете только линейные.

[nikvic]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #812854 писал(а):

Угловые скорости можно складывать, когда они вокруг одного центра.

Не читая задачи, выражу недоумение нащёт угловой скорости вокруг какого-либо центра.
А Олег добавит

[Munin]

(Оффтоп)

nikvic в сообщении #812866 писал(а):

Не читая задачи, выражу недоумение нащёт угловой скорости вокруг какого-либо центра.
А Олег добавит

А он всегда добавляет, а толку-то?
Чего-то конкретное хотите спросить? Или просто учебника недочитали?

[nikvic]

(Оффтоп)

Ну нет в учебниках ничего про Угловые скорости можно складывать, когда они вокруг одного центра.

[tech]

Munin
Когда вычисляется скорость угловой прецессии свободного гироскопа, то вектор угловой скорости раскладывают на векторную составляющую вдоль вектора момента импульса и составляющую вдоль оси симметрии и говорят, что составляющая вдоль момента импульса и есть угловая скорость прецессии. Получается, что суммарный вектор углового вращения есть сумма двух других векторов.
Или под

Цитата:

Угловые скорости можно складывать, когда они вокруг одного центра

Вы подразумевали, что вектора угловой скорости можно складывать только тогда, когда они идут из одной точки?

[nikvic]

tech в сообщении #812905 писал(а):

вектора угловой скорости можно складывать только тогда, когда они идут из одной точки?

Векторы ниоткуда не идут.

[tech]

nikvic
В общем-то, согласен.
Тогда вообще не понимаю, как быть со сложением вращений.

[nikvic]

В задаче нет сложения вращений.
Но дырка в условии есть -

Цитата:

когда $v'$ и $V_0$ лежат на одной прямой

Ну не могут скорости где-то лежать...
В задаче, фактически, интересуются абсолютным ускорением. Вот формулу для него и разберите.

[tech]

nikvic
Вообще, в условии вектора. Кажется, я их забыл. Но по картинке понятно, что имеется в виду.
Кажется, здесь действительно можно без этого обойтись. Только всё равно не сходится с ответом. Пусть $A$ - точка соприкосновения двух дисков, тогда через эту точку проходит мгновенная ось вращения.
Причём $\omega$=$V_0/R$ - величина вектора угловой скорости, направленного перпендикулярно плоскости рисунка (вниз).
Скорость этой точки $A$ равна $V_A=V/2$. Следовательно, центростремительное ускорение НСО равно $V^2/4R$.
$F_{cor}=mV^2/R$ - кориолисова. Направлена вверх в плоскости рисунка.
$F_{centr}=\sqrt{5}mV^2/2R$ - центробежная. Под углом $a$ к вертикали в плоскости рисунка.
$F_{post}=mV^2/4R$ - поступательная сила инерции, связанная с ускорением НСО. Направлена вверх в плоскости рисунка.
$F_{centr}sina=mV^2/2R$
$F_{centr}cosa+F_{cor}+F_{post}=9mV^2/4R$
Складывая по Пифагору, получаем силу трения.
Где-то ошибка.

[Munin]

nikvic в сообщении #812890 писал(а):

Ну нет в учебниках ничего про Угловые скорости можно складывать, когда они вокруг одного центра.

Странно. Вчера было.

tech в сообщении #812905 писал(а):

Вы подразумевали, что вектора угловой скорости можно складывать только тогда, когда они идут из одной точки?

Нет, конечно. Когда вращения рассматриваются вокруг одной точки. А вектора, как указывает nikvic, ниоткуда не идут.

tech в сообщении #812905 писал(а):

Когда вычисляется скорость угловой прецессии свободного гироскопа, то вектор угловой скорости раскладывают на векторную составляющую вдоль вектора момента импульса и составляющую вдоль оси симметрии и говорят, что составляющая вдоль момента импульса и есть угловая скорость прецессии. Получается, что суммарный вектор углового вращения есть сумма двух других векторов.

Нет, конечно, не получается. Вращение - вообще не вектор. Вот угловая скорость - производная от вращения - вектор. Подскажу: любой дифференциал вращения - вектор. А само вращение - не вектор, увы. С этим надо быть осторожным.

[tech]

Munin
Я опечатался здесь

Цитата:

Получается, что суммарный вектор углового вращения есть сумма двух других векторов.

Что такое угловое вращение, я и сам не знаю. Имел в виду вектор угловой скорости.
А что значит

Цитата:

Когда вращения рассматриваются вокруг одной точки

?
Когда вращения рассматриваются вокруг осей, пересекающихся в данной точке?
А можете ли Вы что-нибудь сказать по поводу идеи решения задачи?

[Munin]

tech в сообщении #812973 писал(а):

Когда вращения рассматриваются вокруг осей, пересекающихся в данной точке?

Нет, ну и ладно. Если вы знаете только вращение вокруг оси, вам всё это вообще не нужно.

[tech]

Munin
Да, я пока знаю только вращение вокруг оси, просто вопросы о сложении векторов часто возникают. Первый семестр.

[tech]

Решил задачу.
Вся загвоздка в том, что выражение для центробежной силы содержит также компоненту, включающую в себя производную $\vec{\omega}$. Если я хочу описать ситуацию так, как пытался это сделать выше, то производная эта не равна нулю в любой момент времени, и это нужно учитывать.
Поэтому проще либо рассмотреть вращение НСО с началом отсчёта $O$, либо рассмотреть движение вращающейся НСО с началом отсчёта $O'$.