Предел

[Хет Зиф]

$\lim\limits_{n \to \infty} (\cos(n))^n $

[Руст]

Ясно же, что предел не существует.

[Macavity]

Руст писал(а):

Ясно же, что предел не существует.

А может речь идет о последовательности, то есть n целое?

[Руст]

Я имел в виду для последовательности, когда n пробегает весь натуральный ряд.

[Macavity]

А я думал предел 0. Неверно?

Update. Ага, понял, что неверно.

[Хет Зиф]

Если не существует то как это доказать ?

[x-crazer]

Я бы предположил, что предел существует и равен нулю.
Потому что cos x никогда не будет равен - 1 или 1, так как у нас получается, что значения аргумента в функции не может быть иррациональным...
Хотя звучит бредовато)

[ИСН]

Нет. У нас будут (хоть редко, но никогда совсем не перестанут) попадаться значения косинуса, настолько близкие к 1 или -1, что даже энная степень не поможет. То же самое было бы даже с показателем степени $n^2$. (См. в сторону приближения иррациональных чисел рациональными.)
Так что фигу нам, а не предел.

[Хет Зиф]

ИСН
Да это верно, ну хорошо бы доказать что такие числа будут попадаться.

[ИСН]

Какие? Такие целые $p,\,q$, что, скажем, $|\pi-{p\over q}|<{1\over q^2}$, что in turn даёт нам такую оценку для косинуса, на которой мы выезжаем с приличным запасом? Дак это подходящие дроби и есть.

[Хет Зиф]

ИСН
Правильно, правда не все знают про подходящие дроби

Добавлено спустя 4 минуты 25 секунд:

Хорошо, а если так
$\lim\limits_{n \to \infty} (\cos(n))^{n^{\alpha}} $
Что можно сказать о пределе при разных $\alpha$

[ИСН]

Получится ещё одна (и неплохая, as to me) задача, сводящаяся в конечном счёте к вопросу о мере иррациональности пи.