На сколько частей делят плоскость n прямых...

[Утундрий]

На форуме обсуждали эту задачу Арнольда? Поиском не нахожу.

-- Пт янв 10, 2014 00:28:05 --

Oleg Zubelevich
Если в общем, то тривиальная. Если они все параллельны - тоже. Однако, в том ролике, который я случайно засмотрел на Ютьюбе речь шла о перечислении всех вообще возможных случаев.

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #812236 писал(а):

сли в общем, то тривиальная. Если они все параллельны - тоже. Однако, в том ролике, который я случайно засмотрел на Ютьюбе речь шла о перечислении всех вообще возможных случаев.

тогда слова про тривиальность беру назад

[EtCetera]

Утундрий в сообщении #812236 писал(а):

На форуме обсуждали эту задачу Арнольда?

Обсуждали:

• «Прямые и области, а также карты и колоды.»
• «Помогите решить задачу. Пространство.»
• «Разбиение пространства плоскостями (подсчет числа частей)»
• «Гиперплоскости в R^n»

[Sinoid]

А еще есть в "Польских математических олимпиадах".

[Утундрий]

EtCetera
Спасибо. Значит всё же обсуждали, но мазнули по поверхности и забросили.

[Oleg Zubelevich]

Можно поставить вопрос так. Пусть на плоскости имеются две конфигурации из $n$ прямых, обе конфигурации разбивают плоскость на $k$ частей. Вопрос: эти конфигурации гомеоморфны? А сколько вообще негомеоморфных конфигураций существует?

[ИСН]

a) Нет. Простейший пример включает три прямых. Если все три это самое в одной точке, то это шесть частей же. А если две параллельны, а одна нет, то тоже 6, но это совсем не те 6, что там.
б) Много.

[Утундрий]

Третий день верчу эти круги на шарике, но так и не сподобился сочинить не вызывающего сомнений способа полного перебора. Кстати, а есть где-то табличка подлиннее чем в статье Арнольда? До $n=20$ хотя бы.

[tatkuz1990]

А какие значения в статье Арнольда? Вдруг это известная последовательность чисел.

[Утундрий]

$\[ \begin{array}{*{20}c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ {} & {} & 4 & 6 & 8 \\ {} & {} & {} & 7 & 9 \\ {} & {} & {} & {} & {10} \\ {} & {} & {} & {} & {11} \\ \end{array} \] $

[_3op9l]

http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=6588

[Утундрий]

_3op9l
Спасибо за ссылку. Задача, таким образом, решена. И даже явной формулой

[Утундрий]

Хотя, может быть, подобрать к каждому известному $f_n$ его т.с. реализацию всё ещё является проблемой?