Теорема Блоха. Доказательство

[Neuter]

Господа, вопрос на стыке математики и физики.
Вопрос в одной формуле, приведённой Ждановым Г.С. в книге "Физика твёрдого тела", 1962 г.

В книге приводится доказательство теоремы Блоха (§ Частица в периодическом потенциале).

Вот Жданов пишет:
Возьмём одномерную цепочку, состоящую из N узлов.
Для исключения краевых условий замкнём цепочку в кольцо общей длины L=Na.
С учётом трансляционной симметрии волновые функции \Psi (r) и \Psi (r+a) должны быть одинаковы \Psi (r+a) = C\Psi (r) с точностью до постоянного множителя, модуль которого равен единице: |C|=1.
Далее Жданов рассматривает операцию параллельного переноса вдоль одной из осей \Psi (x+Na) = C^N\Psi (x)=\Psi (x)
(т.е. он записал условие трансляционной симметрии при обходе замкнутой цепочки атомов N-раз).
Далее Жданов пишет:
получаем уравнение для модуля волновой функции С^N = 1, решениями которого являются корни из единицы.
Уравнение С^N = 1 имеет N решений: С_n = \ e^{(2\pi in)/N}, где n = 1,2,..., N
Затем Жданов пишет, что функция должна иметь вид \Psi (x) = u_k (x) \cdot \ e^{(2\pi in)/N}
И окончательно, доказывает справедливость теоремы Блоха.

Вопрос:
решением С^N = 1 является С_n = \ e^{(2\pi in)/N}, где n = 1,2,..., N
откуда экспонента и мнимая единица в показателе ? (и такой странный показатель 2\pi in/N ?)

[kw_artem]

Константа $C$ у вас комплексное число, поэтому, решая уравнение $C^N=1$, вы ищите комплекснозначные решения. А экспонента со степенью, так комплексное число записывают. Да, наверно, вы и сами вспомните, что:

$$e^{i\varphi}=\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}.$$

И что корней N-ой степени из единицы всего N штук. А в вашем конкретном случае:

$${C_n}^N=e^{((2\pi in)/N)\cdot N}=e^{2\pi in}=\cos{2\pi n}+i\sin{2\pi n}=1+i\cdot 0=1.$$

Ну, а если не припоминаете, то почитайте что-нибудь элементарное на эту тему (комплексные числа, тригоном. форма записи комплексного числа, формула Эйлера, формула Муавра).

[Neuter]

kw_artem, спасибо большое за указание на С, как комплексное число и подробное разъяснение его показательной формы.
Действительно, вспомнил формулу Эйлера.
Всё встало на свои места.