Maple 13. Решение системы дифференциальных уравнений

[sabbath]

Здравствуйте, уважаемые Знатаки!!!

Прошу Вашей помощи!!!

Есть система дифференциальных уравнений

> w1 := 10; w2 := 15; r1 := .1; r2 := .1; Ls1 := 0.1e-1; Ls2 := 0.1e-1; a1 := 0.8e-1; c1 := 11; b1 := 4; a2 := .25; c2 := 0.25e-1; b2 := 10;
> u1(t):= 1.1*sin(50*t); 
   F(t):= w1*i1(t)+w2*i2(t); 
   A(t):= a2*arctan(b2*F(t))+c2*F(t)-a1*arctan(b1*(diff(F(t), t)))*exp(-c1^2*F(t)^2);
> sys := u1(t) = i1(t)*r1+Ls1*(diff(i1(t), t))+w1*(diff(A(t), t)), 0 = i2(t)*r2+Ls2*(diff(i2(t), t))+w2*(diff(A(t), t)); fcns := {i1(t), i2(t)};

решаю используя dsolve,

> dsn := dsolve({sys, i1(0.) = 0., i2(0.) = 0.}, fcns, type = numeric);

и получаю ошибку Error, (in DEtools/convertsys) numeric exception: division by zero.
Поколупавшись выяснил, что ошибку вызывает $arctan(b1*(diff(F(t), t)))$.
Дальше у меня уже мозгов не хватает, что-бы как то обойти эту ошибку или решить ее!!!

Можит Кто, знает как выкрутится из данной ситуации?!!!

Огромное Спасибо!!!

[GAA]

Рассматриваемая Вами система является системой дифференциальных уравнений второго порядка.
1. Для такой системы, в задаче Коши (initial value problem, IVP) в начальный момент времени должны быть заданы не только функции, но и производные первого порядка.
2. Относительно $\frac{d^2i1(t)}{dt^2} +\frac {d^2 i2(t)} {dt^2}$, система имеет вид
$\frac{d^2i1(t)}{dt^2} +\frac {d^2 i2(t)} {dt^2} = f_1 \left(t, i1(t), i2(t), \frac {d i1(t)}{dt}, \frac{d i2_t(t)}{dt}\right)$,
$\frac{d^2i1(t)}{dt^2} +\frac {d^2 i2(t)} {dt^2} = f_2 \left(t, i1(t), i2(t), \frac {d i1(t)}{dt}, \frac{d i2_t(t)}{dt}\right)$.
Очевидно, что задача Коши для такой системы, в общем случае, не имеет решения.

Для того чтобы «выкрутиться из данной ситуации», следует разобраться: как получена эта система, не допущены ли ошибки при её выводе.

[sabbath]

Огромное спасибо за подсказку и помощь!!!
Система получена из Т-образной схемы замещения трансформатора по законам Кирхгофа, проверял несколько раз и ошибки в составлении нет.
Уравнение $A(t):= a2*arctan(b2*F(t))+c2*F(t)-a1*arctan(b1*(diff(F(t), t)))*exp(-c1^2*F(t)^2);$ описывает петлю Гистерезиса и работает правильно (с соответствующими коэффициентами аппроксимации).

[sabbath]

Цитата:

Очевидно, что задача Коши для такой системы, в общем случае, не имеет решения.

Еще проверил раз составлиную систему - составлено верно!!!

И ... что-то тогда совсем не понятно!

[GAA]

Уточнение моего предыдущего сообщения
Если в первом уравнении системы перенести свободный член в правую часть, а слагаемое содержащее вторые производные в левую часть, то получим

> .80*(40*diff(i1(t),`$`(t,2))+60*diff(i2(t),`$`(t,2)))/(1+(40*diff(i1(t),t)+60*diff(i2(t),t))^2)*exp(-121*(10*i1(t)+15*i2(t))^2) = -1.1*sin(50*t)+.1*i1(t)+.1e-1*Diff(i1(t),t)+2.50*(100*diff(i1(t),t)+150*diff(i2(t),t))/(1+(100*i1(t)+150*i2(t))^2)+2.500*diff(i1(t),t)+3.750*diff(i2(t),t)+193.60*arctan(40*diff(i1(t),t)+60*diff(i2(t),t))*(10*i1(t)+15*i2(t))*(10*diff(i1(t),t)+15*diff(i2(t),t))*exp(-121*(10*i1(t)+15*i2(t))^2);

или, после умножения обеих частей на знаменатель левой части и переносе экспоненты в правую часть,

> (40*diff(i1(t),`$`(t,2))+60*diff(i2(t),`$`(t,2))) = 
1/.80*(-1.1*sin(50*t)+.1*i1(t)+.1e-1*Diff(i1(t),t)+2.50*(100*diff(i1(t),t)+150*diff(i2(t),t))/(1+(100*i1(t)+150*i2(t))^2)+2.500*diff(i1(t),t)+3.750*diff(i2(t),t)+193.60*arctan(40*diff(i1(t),t)+60*diff(i2(t),t))*(10*i1(t)+15*i2(t))*(10*diff(i1(t),t)+15*diff(i2(t),t))*exp(-121*(10*i1(t)+15*i2(t))^2))*(1+(40*diff(i1(t),t)+60*diff(i2(t),t))^2)*exp(+121*(10*i1(t)+15*i2(t))^2);

Аналогично, перенося во втором уравнении слагаемое, содержащее вторые производные, в левую часть, а затем, умножая на знаменатель и перенося экспоненту в правую часть, получим

> (40*diff(i1(t),`$`(t,2))+60*diff(i2(t),`$`(t,2))) =
1/.80*(-1.1*sin(50*t)+.1*i1(t)+.1e-1*Diff(i1(t),t)+2.50*(100*diff(i1(t),t)+150*diff(i2(t),t))/(1+(100*i1(t)+150*i2(t))^2)+2.500*diff(i1(t),t)+3.750*diff(i2(t),t)+193.60*arctan(40*diff(i1(t),t)+60*diff(i2(t),t))*(10*i1(t)+15*i2(t))*(10*diff(i1(t),t)+15*diff(i2(t),t))*exp(-121*(10*i1(t)+15*i2(t))^2))*(1+(40*diff(i1(t),t)+60*diff(i2(t),t))^2)*exp(+121*(10*i1(t)+15*i2(t))^2);

Таким образом, имеем систему двух дифференциальных уравнений второго порядка вида $40\frac{d^2 i_1(t)}{dt^2} +60\frac {d^2 i_2(t)} {dt^2} = f_1\left(t, i_1(t), i_2(t), \frac {d \, i_1(t)}{dt}, \frac{d \, i_2(t)}{dt}\right)$,
$40\frac{d^2 i_1(t)}{dt^2} +60\frac {d^2 i_2(t)} {dt^2} = f_2 \left(t, i_1(t), i_2(t), \frac {d \, i_1(t)}{dt}, \frac{d \, i_2(t)}{dt}\right)$.
Причем в этой системе $f_1$ не совпадает с $f_2$. Maple численно решение задачи Коши для такой системы не найдет.

Для существования решения должно выполняться
$ f_1\left(t, i_1(t), i_2(t), \frac {d\, i_1(t)}{dt}, \frac{d\, i_2(t)}{dt}\right) = f_2 \left(t, i_1(t), i_2(t), \frac {d\, i_1(t)}{dt}, \frac{d \, i_2(t)}{dt}\right)$,
т.е. получили дифференциальное уравнение первого порядка с двумя неизвестными функциями.

Я в трансформаторах абсолютно ничего не понимаю. С вопросом о составлении уравнений, описывающих работу трансформаторов, думаю, следует обратиться в раздел «Физика», приведя подробную постановку задачи и вывод системы уравнений (формулы набрать в $\TeX$!).

[sabbath]

Спасибо!!!
Я, в вышей математике, почти ни чего не понимаю. Вот и пытаю разобраться на форумах что куда и зачем. Понимая, что в сети находятся очень толковые люди!!!
По поводу составления уравнений из схемы замещения то они (уравнения) составлены верно (проверено не тока мною).
И как полученные выражения дальше применить?! Как еще одно выражение использовать???

(Так же пост есть и на http://forum.exponenta.ru/viewtopic.php ... 185b48a065)

[sabbath]

GAA
Чет, я чего-то, не допонимаю... смысла получения выражений, преобразования!!!

[sabbath]

Здравствуйте, Все!!!

Можит есть альтернатива?! Можит можно решить систему уравнений приблеженным методом?!

если да, то каким?!
Спасибо!!!

[Юрий Косовцов]

Один из возможных способов решения Вашей системы является получение решения в виде рядов Тейлора

Formal series solutions to non-linear DE (ODE or PDE) or systems of them (Cauchy problem)
http://www.maplesoft.com/applications/view.aspx?SID=1690

См. также
Formal Series Solutions to Linear PDEs or Systems of Them (Cauchy problem)
http://www.maplesoft.com/applications/view.aspx?SID=1687

Примечание: Программки изначально были написаны для Maple 10, в Maple 13(14) иногда возникают какие-то проблемы.

[sabbath]

Спасибо!!!
Очень интересно, разбираюсь!!!

Разложить в ряд, - даже не догадовался!!!

[oleg_galtsev]

Здравствуйте.

Есть вопрос. Можно ли в maple решить следующую задачу: Есть два сосуда с общей упругой стенкой. Уравнения движения свои и специфическое граничное условие на общей стенке.

P.S.: Может есть пакеты где это возможно сделать наиболее безболезненно для своего времени.(Уж больно много времени уже потратил на программирование в c++, хочется уделять внимание больше на алгоритм решения задачи).

Заранее спасибо откликнувшимся.

[Nazik]

Всем привет! Мне нужен репетитор по Maple! Можно дистанционно обучать. [e-mail]