модуль производной голоморфной функции

[Pallant]

Голоморфное, однолистное отображение $f$ задано в области $D$. Будет ли модуль производной $|f'(z)|$ отделен от нуля для всех $z\in K$, где $K$ -- компакт, содержащийся в $D$, т. е. $|f'(z)|>\varepsilon$, для некоторого $\varepsilon>0$?

Предположим противное, для произвольного $\varepsilon>0$ найдется точка $z\in K$ такая, что $|f'(z)|<\varepsilon$. Возьмем убывающую последовательность $\{\varepsilon_k\}_{k\in\Bbb N}$, $\varepsilon_k\rightarrow0$ при $k\rightarrow\infty$. Для $\varepsilon_k$ найдется точка $z_k\in K$ такая, что $|f'(z_k)|<\varepsilon_k$. Последовательность $z_k$ сходится к некоторой точке $z_\infty\in K$ (лемма Больцано — Вейерштрасса). Но $|f'(z_\infty)|=0$, получаем противоречие.

Верны ли рассуждения?

[gris]

Может быть я не так понял условие, но мне кажется, что модуль производной снизу ограничен нулём.

[nnosipov]

Видимо, имелось в виду, будет ли на компакте модуль производной отделён от нуля. Будет, очевидно.

[Otta]

Ну да, так и хочется написать. А если взять компакт - область однолистности - с нулем производной на границе?

А, стоп, область однолистности шире компакта. Тогда да, конечно, модуль будет отделен от нуля.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин по причине отсутствия собственных содержательных попыток решения задачи.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

[nnosipov]

Pallant в сообщении #810044 писал(а):

Верны ли рассуждения?

Да, только всё-таки объясните, с чем противоречие получилось.

[ewert]

Pallant в сообщении #810044 писал(а):

Последовательность $z_k$ сходится к некоторой точке $z_\infty\in K$ (лемма Больцано — Вейерштрасса).

Она (лемма) вообще-то не это утверждает, но и не это главное. Главное в том, что к этому моменту она уже неуместна, а надо использовать просто теорему Вейерштрасса про минимум и максимум непрерывной функции.

[Pallant]

Имелась в виду лемма Больцано — Вейерштрасса которая гласит: "из всякой ограниченной последовательности точек пространства $\Bbb R^2$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность." Следовательно последовательность точек $z_k$ сходится к точке, принадлежащей компакту $K$.
Если я правильно понял ewert, можно рассуждать проще: функция $|f'(z)|$ непрерывна, задана на компакте, для нее срабатывает теорема Вейерштрасса (функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани), т. е. в некоторой точке $z_0\in K$ модуль производной обращается в ноль $|f'(z_0)|=0$ чего быть не может, так как функция $f$ однолистна в $K$.

[ewert]

Pallant в сообщении #810513 писал(а):

можно выделить сходящуюся подпоследовательность." Следовательно последовательность точек $z_k$ сходится к точке, принадлежащей компакту $K$.

Так вот не следовательно -- Вы ж ничего не выделяли. А так да, поняли Вы правильно.

[Pallant]

получается, также по теореме Вейерштрасса, что модуль производной ограничен сверху на компакте $K$?

[ewert]

Ну ограничен, естественно; ну и что? -- с этой стороны нам просто не нужно.

[Pallant]

Спасибо за обсуждения!