2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 модуль производной голоморфной функции
Сообщение06.01.2014, 05:31 
Голоморфное, однолистное отображение $f$ задано в области $D$. Будет ли модуль производной $|f'(z)|$ отделен от нуля для всех $z\in K$, где $K$ -- компакт, содержащийся в $D$, т. е. $|f'(z)|>\varepsilon$, для некоторого $\varepsilon>0$?

Предположим противное, для произвольного $\varepsilon>0$ найдется точка $z\in K$ такая, что $|f'(z)|<\varepsilon$. Возьмем убывающую последовательность $\{\varepsilon_k\}_{k\in\Bbb N}$, $\varepsilon_k\rightarrow0$ при $k\rightarrow\infty$. Для $\varepsilon_k$ найдется точка $z_k\in K$ такая, что $|f'(z_k)|<\varepsilon_k$. Последовательность $z_k$ сходится к некоторой точке $z_\infty\in K$ (лемма Больцано — Вейерштрасса). Но $|f'(z_\infty)|=0$, получаем противоречие.

Верны ли рассуждения?

 
 
 
 Re: модуль производной голоморфной функции
Сообщение06.01.2014, 11:25 
Аватара пользователя
Может быть я не так понял условие, но мне кажется, что модуль производной снизу ограничен нулём.

 
 
 
 Re: модуль производной голоморфной функции
Сообщение06.01.2014, 12:06 
Видимо, имелось в виду, будет ли на компакте модуль производной отделён от нуля. Будет, очевидно.

 
 
 
 Re: модуль производной голоморфной функции
Сообщение06.01.2014, 12:21 
Ну да, так и хочется написать. А если взять компакт - область однолистности - с нулем производной на границе?

А, стоп, область однолистности шире компакта. Тогда да, конечно, модуль будет отделен от нуля.

 
 
 
 Re: модуль производной голоморфной функции
Сообщение06.01.2014, 12:55 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена в Карантин по причине отсутствия собственных содержательных попыток решения задачи.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение07.01.2014, 09:27 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

 
 
 
 Re: модуль производной голоморфной функции
Сообщение07.01.2014, 09:45 
Pallant в сообщении #810044 писал(а):
Верны ли рассуждения?
Да, только всё-таки объясните, с чем противоречие получилось.

 
 
 
 Re: модуль производной голоморфной функции
Сообщение07.01.2014, 09:57 
Pallant в сообщении #810044 писал(а):
Последовательность $z_k$ сходится к некоторой точке $z_\infty\in K$ (лемма Больцано — Вейерштрасса).

Она (лемма) вообще-то не это утверждает, но и не это главное. Главное в том, что к этому моменту она уже неуместна, а надо использовать просто теорему Вейерштрасса про минимум и максимум непрерывной функции.

 
 
 
 Re: модуль производной голоморфной функции
Сообщение07.01.2014, 11:23 
Имелась в виду лемма Больцано — Вейерштрасса которая гласит: "из всякой ограниченной последовательности точек пространства $\Bbb R^2$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность." Следовательно последовательность точек $z_k$ сходится к точке, принадлежащей компакту $K$.
Если я правильно понял ewert, можно рассуждать проще: функция $|f'(z)|$ непрерывна, задана на компакте, для нее срабатывает теорема Вейерштрасса (функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани), т. е. в некоторой точке $z_0\in K$ модуль производной обращается в ноль $|f'(z_0)|=0$ чего быть не может, так как функция $f$ однолистна в $K$.

 
 
 
 Re: модуль производной голоморфной функции
Сообщение07.01.2014, 11:31 
Pallant в сообщении #810513 писал(а):
можно выделить сходящуюся подпоследовательность." Следовательно последовательность точек $z_k$ сходится к точке, принадлежащей компакту $K$.

Так вот не следовательно -- Вы ж ничего не выделяли. А так да, поняли Вы правильно.

 
 
 
 Re: модуль производной голоморфной функции
Сообщение07.01.2014, 11:46 
получается, также по теореме Вейерштрасса, что модуль производной ограничен сверху на компакте $K$?

 
 
 
 Re: модуль производной голоморфной функции
Сообщение07.01.2014, 12:04 
Ну ограничен, естественно; ну и что? -- с этой стороны нам просто не нужно.

 
 
 
 Re: модуль производной голоморфной функции
Сообщение08.01.2014, 14:46 
Спасибо за обсуждения!

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group