Задача на распад частиц

[Omega]

Помогите пожалуйста с решением следующей задачи:
В электрон-позитронных столкновениях с различной энергией встречных пучков $E_{1} \neq E_{2}$ происходит процесс $e^{+}+e^{-} \rightarrow \Psi' \rightarrow \tau^{+}+\tau^{-}$.
Масса $\Psi'$-мезона $3,7$ ГэВ. Масса $\tau$-лептона $1,8$ ГэВ, время жизни $t= 3 \cdot 10^{-13}$ с.
Каким должно быть отношение энергий встречных пучков, чтобы в случае симметричного разлета $\tau$-лептоны успевали отлететь от места рождения в среднем на расстояние $L=5 \cdot 10^{-5}$ м?

Мои рассуждения следующие: находим импульс одного из $\tau$-лептона в системе движущегося до распада $\Psi'$-мезона, переходим в лабораторную систему отсчёта и через преобразования энергии и импульса находим скорость $\tau$-лептона, которую в свою очередь можно найти, зная дальность полёта...

Но прежде, чем привести свои выкладки, я хотел бы узнать: правильно ли полагать, что в в системе движущегося до распада $\Psi'$-мезона, оба $\tau$-лептона разлетелись с одинаковыми импульсами в строго противоположные стороны под прямым углом к направлению движения $\Psi'$-мезона?

Всем заранее спасибо за комментарии.

[Munin]

Omega в сообщении #811226 писал(а):

Но прежде, чем привести свои выкладки, я хотел бы узнать: правильно ли полагать, что в в системе движущегося до распада $\Psi'$-мезона, оба $\tau$-лептона разлетелись с одинаковыми импульсами в строго противоположные стороны под прямым углом к направлению движения $\Psi'$-мезона?

Да. Если "направление движения" подразумевается в лабораторной с. о.

Наверняка, я думаю, и решили правильно.

[Omega]

Munin в сообщении #811229 писал(а):

Omega в сообщении #811226 писал(а):

Если "направление движения" подразумевается в лабораторной с. о.

Именно так. А это мои самые рассуждения, но в виде формул. Прошу пожалуйста строго не судить, но верно ли всё? Хотя бы на первый взгляд..?

Используем следующее соотношение:

$$\gamma_{u}\beta_{u}=\dfrac{L}{tc}$$

Где $u$ - скорость $\tau$-лептона в лабораторной системе отсчёта.
Далее:

$$\dfrac{\beta_{u}^{2}}{\sqrt{1-\beta_{u}^{2}}}=\left (\dfrac{L}{tc} \right)^{2} \Rightarrow u=\dfrac{L/t}{\sqrt{1+\left (\dfrac{L}{tc} \right)^{2}}}$$

Запишем закон сохранения 4-вектора энергии-импульса для распада $\Psi'$-мезона в сопутствующей ему системе отсчёта:

$$\vec{P}_{\Psi'}=\vec{P}_{\tau_{1}}+\vec{P}_{\tau_{2}} \Leftrightarrow M_{\Psi'}^{2}c^2=2m_{\tau}^{2}c^{2}+2 \left (\dfrac{E_{\tau}^2}{c^{2}}+p_{\tau}^{2} \right)$$

Откуда с учётом соотношения $(E_{\tau}/c)^{2}-p_{\tau}^{2}=m_{\tau}^{2}c^{2}$, получаем, что

$$E_{\tau}=\dfrac{M_{\Psi'}c^{2}}{2};p_{\tau}=\dfrac{\sqrt{M_{\Psi'}^{2}-4m_{\tau}^{2}}}{2} c$$

Далее, найдём $u$, используя преобразования энергии и импульса. $E_{\tau},p_{\tau}$-энергии и импульс $\tau$-лептона в сопутствующей $\Psi'$-мезону системе отсчёта, тогда в лабораторной системе отсчёта:

$$u=\dfrac{p_{\tau}'c^{2}}{E_{\tau}'};p_{\tau}'=\sqrt{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}};p_{x}=\dfrac{\gamma \beta E_{\tau}}{c};p_{y}=p_{\tau};E_{\tau}'=\gamma E_{\tau}$$

В итоге, гамма-фактор $\Psi'$-мезона в л.с.о. есть:

$$\gamma=\dfrac{2m_{\tau}}{M_{\Psi'}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-\left (\dfrac{u}{c} \right)^{2}}}=\dfrac{2m_{\tau}}{M_{\Psi'}}\sqrt{1+\left (\dfrac{L}{tc} \right)^{2}}$$

А как быть дальше? Именно как найти отношение энергий пучков?

[Munin]

(Оффтоп)

Хинт: удобно писать выкладки в системе единиц $c=1$ (в конечной формуле просто добавляются степени $c$ во всех слагаемых, подобранные по размерности). Пропадает необходимость различать $v$ и $\beta$ (по обозначениям ЛЛ-2 $u$ - четырёхмерная скорость, а $v$ - трёхмерная, $u^\mu=(\gamma,\mathbf{v}\gamma);$ от этого можно отступить, если скоростей разных много, и букв не хватает). Величины $v\gamma,\gamma,v$ становятся в точности равны $\sh\theta,\ch\theta,\th\theta$ (где $\theta$ - быстрота, для неё букву можно и не вводить), и соотношения между ними аналогичны.

Omega в сообщении #811237 писал(а):

Далее:

$$\dfrac{\beta_{u}^{2}}{\sqrt{1-\beta_{u}^{2}}}=\left (\dfrac{L}{tc} \right)^{2} \Rightarrow u=\dfrac{L/t}{\sqrt{1+\left (\dfrac{L}{tc} \right)^{2}}}$$

Вначале описка (квадратный корень не возвели в квадрат), ответ правильный.

Omega в сообщении #811237 писал(а):

Запишем закон сохранения 4-вектора энергии-импульса для распада $\Psi'$-мезона в сопутствующей ему системе отсчёта:

$$\vec{P}_{\Psi'}=\vec{P}_{\tau_{1}}+\vec{P}_{\tau_{2}} \Leftrightarrow M_{\Psi'}^{2}c^2=2m_{\tau}^{2}c^{2}+2 \left (\dfrac{E_{\tau}^2}{c^{2}}+p_{\tau}^{2} \right)$$

Откуда с учётом соотношения $(E_{\tau}/c)^{2}-p_{\tau}^{2}=m_{\tau}^{2}c^{2}$, получаем, что

$$E_{\tau}=\dfrac{M_{\Psi'}c^{2}}{2};p_{\tau}=\dfrac{\sqrt{M_{\Psi'}^{2}-4m_{\tau}^{2}}}{2} c$$

Я не понял, как вы преобразовали первую строчку, но ответ, конечно же, правильный. Я его получаю, выписывая 4-векторы по координатам:

$$\mathbf{p}_{\Psi'}=(0)=\mathbf{p}_{\tau 1}+\mathbf{p}_{\tau 2}\quad\Rightarrow\quad\gamma_{\tau 1}=\gamma_{\tau 2}$$

$$E_{\Psi'}=(m_{\Psi'})=E_{\tau 1}+E_{\tau 2}=2E_{\tau}=2\gamma_{\tau}m_{\tau}$$

$$p_{\tau}=\sqrt{E_{\tau}^2-m_{\tau}^2}=\sqrt{\tfrac{1}{4}m_{\Psi'}^2-m_{\tau}^2}$$

Omega в сообщении #811237 писал(а):

тогда в лабораторной системе отсчёта:

$$u=\dfrac{p_{\tau}'c^{2}}{E_{\tau}'};p_{\tau}'=\sqrt{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}};p_{x}=\dfrac{\gamma \beta E_{\tau}}{c};p_{y}=p_{\tau};E_{\tau}'=\gamma E_{\tau}$$

У меня так же. Безымянные гаммы у вас, я гляжу, относятся к скорости центра масс относительно лаборатории.

Omega в сообщении #811237 писал(а):

В итоге:

$$\gamma=\dfrac{2m_{\tau}}{M_{\Psi'}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-\left (\dfrac{u}{c} \right)^{2}}}=\dfrac{2m_{\tau}}{M_{\Psi'}}\sqrt{1+\left (\dfrac{L}{tc} \right)^{2}}$$

Да, у меня так же.

Но это ещё не "в итоге"! Этот ваш ответ - это всего лишь скорость $\Psi'$ относительно лаборатории. Надо ещё найти и вторую часть задачи: энергии встречных пучков и их соотношение.

[Omega]

Спасибо большое!
А как Вы,Munin, считаете: каким самым быстром способом можно получить итоговый ответ?
Думаю ответ нужно искать из соображений того, что $V$ - скорость центра инерции пучков и есть скорость $\Psi'$ в л.с.о.
То есть

$$V=c \sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}=c \dfrac{|\sqrt{E_{1}^{2}-m_{e}^{2}c^{4}}-\sqrt{E_{2}^{2}-m_{e}^{2}c^{4}}|}{\gamma M_{\Psi'}c^2}$$

Тогда получается довольно громоздкое уравнение:

$$\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}=\dfrac{\left|\sqrt{\left (\dfrac{ E_{\Psi'}}{\alpha+1} \right)^{2}-m_{e}^{2}c^{4}}-\sqrt{\left (\dfrac{\alpha E_{\Psi'}}{\alpha+1} \right)^{2}-m_{e}^{2}c^{4}}\right|}{E_{\Psi'}}$$

Где $\alpha=E_{2}/E_{1}$
Кстати, не могу не заметить, что $ E_{\Psi'} \gg m_{e}c^{2}$
Но тем не менее без упрощений, $\alpha \approx 0,3897...$

[Munin]

Omega в сообщении #811277 писал(а):

Думаю ответ нужно искать из соображений того, что $V$ - скорость центра инерции пучков и есть скорость $\Psi'$ в л.с.о.

Ну, это очевидно.

(Оффтоп)

Ещё хинт по выкладкам. Не считайте скорость какой-то более первичной величиной по сравнению с гаммой. Они взаимозаменяемы в этом смысле: одно $\th\theta,$ другое $\ch\theta.$ Часто даже удобно вообще не вылезать из гамм, всё в них считать.

-- 08.01.2014 15:02:52 --

Выражение у меня тоже громоздкое. Обозначу $\theta$ - быстроту $\Psi'$ в л. с. (гамму для этой быстроты вы нашли выше в post811237.html#p811237 ), и $\theta_e$ - быстроту сталкивающихся электронов в с. ц. м. (для обоих электронов они равны). Тогда в л. с. быстроты сталкивающихся пучков будут $\theta_e\pm\theta.$ Отношение энергий будет

$$\dfrac{E_2}{E_1}=\dfrac{\ch(\theta_e+\theta)}{\ch(\theta_e-\theta)}=\dfrac{\ch\theta_e\ch\theta+\sh\theta_e\sh\theta}{\ch\theta_e\ch\theta-\sh\theta_e\sh\theta}$$

- действительно, громоздкое выражение, если выражать все $\sh$ через известные $\ch.$ В конечном счёте, в качестве $\ch\theta$ надо подставить $\gamma$ из post811237.html#p811237 , а в качестве $\ch\theta_e=m_{\Psi'}/2m_e.$ Какого-то прозрачного способа упростить это дело я не вижу.

-- 08.01.2014 15:03:45 --

(Я выбрал отношение больше единицы, похоже, а вы - меньше единицы.)

[Omega]

Munin, спасибо за подробные объяснения.

[Munin]

Да чо ж в них подробного, я ведь отклонился от того, чтобы ваши выкладки проверять (потому что не понял, как), и полез отсебятину городить.