вопрос о приведении к интервалу сходимости

[antoshka1303]

Подскажите, пожалуйста.
Мне нужно вычислить |1+x| без использования каких-либо математических функций по разложению в ряд Тейлора. Вычисление следует вести до тех пор, пока очередной член суммы не станет по модулю меньше ε. Перед использованием формулы Тейлора потребуется приведение аргумента к интервалу наилучшей сходимости.
В приведении к интервалу и есть проблема. В задаче есть указания:
Можно пользоваться только арифметическими операциями, функции abs и трёх функций: get-exponent, get-mantissa и exp2. Известно, что вещественное число x, не равное 0 и специальным значениям, представляется в виде +/-m * 2^p, где m (1 ≤ m < 2) — мантисса числа, а p — его порядок. Функция get-exponent (x) позволяет получить порядок числа, а get-mantissa (x) — его мантиссу. Число x в обоих случаях не должно быть 0 или специальным значением. Функция exp2 (x) возвращает в качестве результата число 2^x
При вычислении ln учесть, что вещественные числа могут иметь три специальных значения: +inf.0 (положительная бесконечность), -inf.0 (отрицательная бесконечность) и +nan.0 (неопределённость).

--
попытки расписать ln(1+x) через ln произведения и тд пока к успеху не привели.[/list]

[Someone]

$$|1+x|=\sqrt{(1+x)^2}=\left(1+\left(2x+x^2\right)\right)^{\frac 12}=$$

$$=1+\frac{\frac 12}{1!}\left(2x+x^2\right)+\frac{\frac 12\left(\frac 12-1\right)}{2!}\left(2x+x^2\right)^2+\frac{\frac 12\left(\frac 12-1\right)\left(\frac 12-2\right)}{3!}\left(2x+x^2\right)^3+\ldots+\frac{\frac 12\left(\frac 12-1\right)\left(\frac 12-2\right)\ldots\left(\frac 12-(k-1)\right)}{k!}\left(2x+x^2\right)^k+\ldots$$

Область сходимости даётся условием $\left|2x+x^2\right|\leqslant 1$, то есть, $-\sqrt{2}-1\leqslant x\leqslant \sqrt{2}-1$.

antoshka1303 писал(а):

Вычисление следует вести до тех пор, пока очередной член суммы не станет по модулю меньше ε.

Такая оценка погрешности не всегда правильная. Она верна, если ряд знакочередующийся, и его члены, взятые по абсолютной величине, образуют невозрастающую последовательность (то есть, если ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница). В данном случае, если мы определим $n$-ный остаток как

$$r_n(x)=\frac{\frac 12\left(\frac 12-1\right)\left(\frac 12-2\right)\ldots\left(\frac 12-(n-1)\right)}{n!}\left(2x+x^2\right)^n+\frac{\frac 12\left(\frac 12-1\right)\left(\frac 12-2\right)\ldots\left(\frac 12-n\right)}{(n+1)!}\left(2x+x^2\right)^{n+1}+\ldots\text{,}$$

то при $0\leqslant 2x+x^2\leqslant 1$ получим оценку

$$\left|r_n(x)\right|\leqslant\left|\frac{\frac 12\left(\frac 12-1\right)\left(\frac 12-2\right)\ldots\left(\frac 12-(n-1)\right)}{n!}\left(2x+x^2\right)^n\right|$$

(знак остатка совпадает со знаком числа $(-1)^{n-1}$),
а при $-1<2x+x^2\leqslant 0$ - оценку

$$\left|r_n(x)\right|\leqslant\left|\frac{\frac 12\left(\frac 12-1\right)\left(\frac 12-2\right)\ldots\left(\frac 12-(n-1)\right)}{n!}\frac{\left(2x+x^2\right)^n}{(1+x)^2}\right|$$

(остаток $\leqslant 0$).
В оставшемся случае $2x+x^2=-1$, то есть, при $x=-1$, сумма ряда равна $0$.

[antoshka1303]

о,мегаспасибо!