Разминка

[InSidEr]

1. Доказать для любых натуральных N, что

\[ \left[ {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^n } \right] \]

нечетная

2. Найти предел

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {e*n!} \right\}$
3.
$X = (x_1 ,x_2 ,...,x_m )$

где
$x\left( i \right) = \pm 1,m = 2^n $

$F\left( X \right) = (x_1 x_2 ,x_2 x_3 ,...,x_{m - 1} x_m ,x_m x_1 )$

Доказать, что когда-нибудь будет такое :

$F\left( {F\left( {F\left( {...F\left( X \right)} \right)...} \right)} \right) = \left( {1,1,...,1} \right)$

[Руст]

\[ \left[ {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^n } \right]=2\frac{(3+\sqrt 5 )^n+(3-\sqrt 5 )^n}{2}-1. \]

нечетная

2. Очевидно

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {e*n!} \right\}=0ю \]

3.

$ X = \left( {x\left( 1 \right),x\left( 2 \right),...,x\left( m \right)} \right) $,
где
$x\left( i \right) = \pm 1,m = 2^n$

Доказать, что когда-нибудь будет такое :

$F\left( {F\left( {F\left( {...F\left( X \right)} \right)...} \right)} \right) = \left( {1,1,...,1} \right)$

Не понятно, что означает функция F(X).

[InSidEr]

Забыл написать, уже исправил!

[student]

InSidEr писал(а):

2. Найти предел
$\lim\limits_{x\to \infty}\{e*n!\}$

Что-то подлимитное выражение не зависить от $x.$

[Руст]

Очевидно, если обозначит $F_n=F(F...(F(X)...), F_0=F$ итерация порядка $k=2^n$, то {math]$F_n(X)=(x_1x_{1+k},x_{2+k}...x_{2^m}x_k$[/math], где суммирование производится по модулю 2^m. Очевидно, что $F_{2^m}(X)=(1,1,....,1)$.

[Sasha Rybak]

Узнаю олимпиаду Киевского Политехнического Института 2007 года. Кстати, я сам из КПИ. :)
Задача 3 подробно разобрана здесь: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=7708 в 11-м сообщении. Только единички надо заменить на нули, минус единички - на единички, а умножение - на сложение по модулю 2.

[нг]

InSidEr
Пожалуйста, не помещайте большие куски текста в тег [math]. Это нарушение правил.

[InSidEr]

Решить след. функ. ур-ия :
1.

\[ f(x) + f(y) = f(\sqrt {x^2 + y^2 } ) \]

2.

\[ f \in C\left[ {0,1} \right]:\]

\[ 2f(x) = f(\frac{x}{2}) + f\left( {\frac{{x + 1}}{2}} \right) \]

3. Ус-ия непрерывности нету

\[ f(x) - \frac{1}{2}f(\frac{x}{2}) = x^2 \]

[student]

InSidEr писал(а):

Решить след. диф. ур-ия :

Диффиренциальные или функциональные?

[InSidEr]

Да, функ.. Диф. ур-ми их сложно назвать=)

[student]

InSidEr писал(а):

Решить след. диф. ур-ия :
1.

\[ f(x) + f(y) = f(\sqrt {x^2 + y^2 } ) \]

Легко можно видеть, что $f(0)=0,$ $f(-x)=f(x).$
Поэтому можно ограничиваться расмотрением $x\geq 0$.
Далее, доказывая равенства $f(\sqrt{m}x)=mf(x), f(\sqrt{\frac{m}{n}}x)=\frac{m}{n}f(x),\ m,n\in\mathbb{N}$ можно легко получит $f(\sqrt{\alpha} x)=\alpha f(x).$
Отсюда следует, что $f(x)= cx^2,$ где $c=const.$

[Юстас]

Во втором уравнении достаточно непрерывности в 0 и ограниченности, и эта задача на форуме уже решалась.

[Brukvalub]

student писал(а):

можно легко получит

А откуда Вы непрерывность функции получили?

[student]

Brukvalub писал(а):

А откуда Вы непрерывность функции получили?

По моему InSidEr забыл написать что в первой задаче $f(x)$-- непрерывное.

3.
Доказывая при помощи математического индукции
$f(x)=\frac{1}{2^n}f(\frac{x}{2^n})+(1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^6}+\ldots+\frac{1}{2^{3n-3}})x^2$
можно легко получит, что $f(x)=\frac{8}{7}x^2.$
Или я опят неправ?

[Brukvalub]

InSidEr писал(а):

3. Ус-ия непрерывности нету