Об ортогональности вектора gradф и орта dn_r.

[DAP]

"Производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции

$\frac{\partial u }{\partial \lambda }= \operatorname{grad} u \cdot \vec{e_{\lambda }}$

на единичный вектор этого направления.
…
Производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е

$\frac{\partial u }{\partial \lambda }= |\operatorname{grad} u|\cos\varphi$

где $ \varphi$ – угол между векторами $\operatorname{grad} u$ и лучом $\vec{\lambda }$ (рис. 149).

Отсюда сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда $ \cos\varphi=1$, т.е. $ \varphi =0$. Это наибольшее значение равно $ |\operatorname{grad} u|$. … т.е. направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции." [А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович, Краткий курс математического анализа, "Наука". М., 1971, стр.427]

"Производная по направлению градиента равна его модулю" [там же, стр.430]

Исходя из приведенных определений, производная скалярной функции поля $ \phi(x,y,z)$ по направлению градиента выражается следующим образом:

$ \frac{d\phi }{dr}=\operatorname{grad}\phi \cdot \frac{d\vec{r}}{dr}=\operatorname{grad}\phi\cdot \vec{n}_{r} = \left |\operatorname{grad}\phi \right |\cdot \cos0 = \left |\operatorname{grad}\phi \right |$ , (*)

где $ \varphi =0 – угол между вектором \operatorname{grad} \phi и ортом $\vec{n}_{r}$.

Следовательно, учитывая следствие (*) в виде

$ d\phi = \operatorname{grad}\phi \cdot \vec{n}_{r}dr$,

получаем возможность, на основании приведенного выражения производной по направлению градиента, и замечая, что

$ d\phi = \operatorname{grad}\phi \cdot d\vec{r}$,

определить взаимную ориентацию векторов $ \operatorname{grad}\phi$ и $ d\vec{n}_{r}$ путем отыскания значения скалярного произведения $ \operatorname{grad}\phi \cdot d\vec{n}_{r}$:

$ \operatorname{grad}\phi \cdot d\vec{n}_{r} = \operatorname{grad}\phi \cdot d\left ( \frac{\vec{r}}{r} \right )= \operatorname{grad}\phi \cdot \left ( d\left ( \frac{1}{r} \right )\vec{r}+\left ( \frac{1}{r} \right )d\vec{r} \right )= \operatorname{grad}\phi \cdot \left ( - \frac{dr}{r^2}r\vec{n}_{r}+\frac{1}{r}d\vec{r} \right ) =$

$-\frac{ \operatorname{grad}\phi \cdot \vec{n}_{r}dr}{r}+\frac{ \operatorname{grad}\phi \cdot d\vec{r}}{r} =-\frac{d\phi }{r}+\frac{d\phi }{r} =0 $.

Получили закономерный результат: так как скалярное произведение векторов $ \operatorname{grad}\phi $ и $ d\vec{n}_{r}$ равно нулю, следовательно они ОРТОГОНАЛЬНЫ В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ. Что и требовалось доказать.

Чтобы у уважаемых участников и посетителей форума не возникало ощущения недосказанности в отношении тождества

$ \operatorname{grad}\phi \cdot \left ( \frac{d\vec{r}}{dr} \right )= \operatorname{grad}\phi \cdot d\vec{n}_{r}$,

стоит отметить, что

$ \frac{d\vec{r}}{dr}= \frac{d(r\vec{n}_{r})}{dr} =\frac{dr}{dr}\vec{n}_{r} +\frac{rd\vec{n}_{r}}{dr} =\vec{n}_{r}+\frac{d\vec{n}_{r}}{d\varphi }=\vec{n}_{r}+\vec{n}_{\varphi }$, (**)

а так как орт $\vec{n}_{\varphi }$ ортогонален орту $\vec{n}_{r}$ по определению, то, следовательно, орт $\vec{n}_{\varphi }$ ортогонален и вектору $ \operatorname{grad}\phi $ (если " Производная по направлению градиента равна его модулю ", то вектор $ \operatorname{grad}\phi $ коллинеарен орту $\vec{n}_{r}$, когда угол между ними $ \varphi =0$), что влечет за собой равенство нулю в (*) скалярного произведения $ \operatorname{grad}\phi \cdot \vec{n}_{\varphi }=0$.

Изложенное подтверждает, что иногда звучащие заявления о том, что вектора $\operatorname{grad}\phi $ и $ d\vec{n}_{r}$ неортогональны в общем случае, являются голословными и математически необоснованными.

[ewert]

DAP в сообщении #805629 писал(а):

где $ \varphi =0$ – угол между вектором $\operatorname{grad} \phi$ и ортом $\vec{n}_{r}$.

А почему 0, а не 37 градусов?