Подгонка уравнений под функцию )

[Утундрий]

Ответвление следующей темы

Рассмотрим семейство функций $y = \frac{1}{{C - x}}$ и попытаемся составить для него дифференциальное уравнение. Разрешим функцию относительно константы $C = x + \frac{1}{y}$ и тогда, если $y \ne 0$, получим $y' = y^2 $. Это д.у. первого порядка по которому в точности восстанавливается первоначальная функция и на нём вполне можно остановиться. Но что если нам не нужна в точности эта функция? Если она, предположим, есть подгонка под эксперимент и работает только в ограниченной области, то в неё крайне желательно было бы насовать каких-то дополнительных подгоночных констант. Как правило, делается это интуитивно. Но здесь цитированная тема натолкнула меня на вполне себе механический способ такого насовывания. А давайте просто дифференцировать дальше!

Итак, нулевое приближение: $y' = y^2$, $y = \frac{1}{{C - x}}$

Первое: $y'' = 2y^3 $, $x = \pm \int {\frac{{dy}}{{\sqrt {y^4 + C_1 } }}} $

Второе: $y''' = 6y^4 $, $y = y\left( {x, C, C_1 ,C_2 } \right)$

и т.д.

Если взглянуть на пример с точки зрения роста людского поголовья, то нулевое приближение соответствует Капице, первое - исправляет им же отмеченную бяку при малых $y$, а во втором уже можно даже поискать функции, не обращающиеся в бесконечность. Хотя, кажется их там нет, но может в третьем...

[druggist]

Утундрий в сообщении #810037 писал(а):

Если взглянуть на пример с точки зрения роста людского поголовья, то нулевое приближение соответствует Капице, первое - исправляет им же отмеченную бяку при малых , а во втором уже можно даже поискать функции, не обращающиеся в бесконечность. Хотя, кажется их там нет, но может в третьем...

Вроде бы, это неплохо исправляется введением в правую часть дополнительных(естественно, разумных с т.з. рассматриваемой модели) членов в т.ч. линейного с разными знаками. И бесконечность также устраняется(т.н. точка демогр.фп, см. соответствующие статьи на фамилию Подлазов). А вот физ.смысл дифференцирования как-то не просматривается

[Утундрий]

druggist в сообщении #810087 писал(а):

физ.смысл дифференцирования как-то не просматривается

Зато однозначно! Конечно, имеется большой произвол в оценке констант. Частично он ликвидируется тем, что у нас ведь уже есть область, где нулевое приближение хорошо работает и желательно, чтобы все последующие этой хорошести не нарушали. Что до физ-смысла, то откуда мы, собственно, знаем порядок истинного уравнения? Лагранжианов у нас нет, люди не частицы, уравнение может быть любым. Не факт, кстати, что локальным.

[INGELRII]

Не факт, что вообще можно говорить о существовании такого уравнения в физ-смысле. Люди ж не молекулы газа, все обстоятельства их рождения, столкновений и гибели формализовать не выйдет в принципе. А нельзя формализовать, нельзя и уравнением описать. Можно скорее говорить об уравнениях приближенных моделей, смотреть, какие лучше описывают процесс, дают меньшую относительную погрешность и т.д. А почему, кстати, Вас именно на подсчет людей потянуло?

[Утундрий]

Просто первое что пришло в голову.