Добрый вечер!
Решил подтянуть сво знания по теории случайных процессов, читаю учебник А.Н.Бородина "Случайные процессы" и в упражнениях после первого параграфа уже появились вопросы.
Задачи такие
1. Пусть тройка

такая, что
![\Omega = [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$, $\mathcal{F} = \mathcal{B}([-\frac{1}{2},\frac{1}{2}])$, $\mathbb{P} (d\omega) = d\omega$ \Omega = [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$, $\mathcal{F} = \mathcal{B}([-\frac{1}{2},\frac{1}{2}])$, $\mathbb{P} (d\omega) = d\omega$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/a/3fa1f0b3b947f0a7c9a62b58a01c50a782.png)
. Пусть

. Докажите, что
a)

б)

. Также вычислить

2. Здесь тройка

та же, что и задаче 1. Но
![$X(\omega) = \omega \mathbb{I}_{[0,\frac{1}{2}]} (\omega) - 3\omega \mathbb{I}_{[-\frac{1}{2},0]} (\omega)$ $X(\omega) = \omega \mathbb{I}_{[0,\frac{1}{2}]} (\omega) - 3\omega \mathbb{I}_{[-\frac{1}{2},0]} (\omega)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/4/934b4950de06dbbec843114ce29dde3682.png)
. Вычислисть

Теперь мои попытки решения:
1. а)

. Далее, пусть

.
По определению условного мат. ожидания

Очевидно, для

верно равенство

, так как множества из

симметричны относительно нуля. Тогда

Поверим, что случайная величина

измерима относительно

:

принимает значения из множества




Тогда в силу единственности условного мат. ожидания

б) Здесь доказательсво по-сути то же самое, но с доказательством измеримости

возникают проблемы.
Относительно вопроса о

. Полагаю, что

.
2. Здесь я что-то попадаю в ступор
Подскажите, пожалуйста, верны ли мои рассуждения в задаче 1 и подскажите, с какой стороны подступиться в задаче 2.
P.S. Если с этими задачами пойдет все гладко, я планирую позадавать вопросы по упражнениям из этого учебника