2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачи из учебника А.Н. Бородина
Сообщение22.12.2013, 19:53 


06/12/13
6
Добрый вечер!
Решил подтянуть сво знания по теории случайных процессов, читаю учебник А.Н.Бородина "Случайные процессы" и в упражнениях после первого параграфа уже появились вопросы.
Задачи такие
1. Пусть тройка $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$ такая, что \Omega = [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$, $\mathcal{F} = \mathcal{B}([-\frac{1}{2},\frac{1}{2}])$, $\mathbb{P} (d\omega) = d\omega$. Пусть $X(\omega) = \omega^2$. Докажите, что
a) $\mathbb{P}(A|\sigma(X)) = \frac{1}{2} \mathbb{I}_A (\omega) + \frac{1}{2} \mathbb{I}_A (-\omega)$
б) $\mathbb{E}(Y|\sigma(X)) = \frac{1}{2} Y (\omega) + \frac{1}{2} Y(-\omega)$. Также вычислить $\mathbb{E}(Y|X=x) $
2. Здесь тройка $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$ та же, что и задаче 1. Но $X(\omega) = \omega \mathbb{I}_{[0,\frac{1}{2}]} (\omega)  - 3\omega \mathbb{I}_{[-\frac{1}{2},0]} (\omega)$. Вычислисть $\mathbb{E}(Y|\sigma(X))$



Теперь мои попытки решения:
1. а) $\mathbb{P}(A|\sigma(X))  =\mathbb{E}(\mathbb{I}_A |\sigma(X)) $. Далее, пусть $B \in \sigma(X)$.
По определению условного мат. ожидания $\int_B \mathbb{E}(\mathbb{I}_A |\sigma(X)) \mathbb{P} (d\omega) = \int_B \mathbb{I}_A \mathbb{P} (d\omega) =\int_B \mathbb{I}_A (\omega) d\omega = \frac{1}{2} (\int_B \mathbb{I}_A (\omega) d\omega + \int_{-B} \mathbb{I}_A (-\omega) d\omega)$
Очевидно, для $B \in \sigma(X)$ верно равенство $B = -B$, так как множества из $\sigma(X)$ симметричны относительно нуля. Тогда $\frac{1}{2} (\int_B \mathbb{I}_A (\omega) d\omega + \int_{-B} \mathbb{I}_A (-\omega) d\omega)=\int_B \frac{1}{2} \mathbb{I}_A (\omega) + \frac{1}{2} \mathbb{I}_A (-\omega) d\omega$

Поверим, что случайная величина $h(\omega):=\frac{1}{2} \mathbb{I}_A (\omega) + \frac{1}{2} \mathbb{I}_A (-\omega) $ измерима относительно $\sigma(X)$:
$h(\omega)$ принимает значения из множества $\{0,\frac{1}{2},2\}$
$h^{-1} (1) = A \cap (-A) \in \sigma(X)$
$h^{-1} (\frac{1}{2}) = A \Delta (-A) \in \sigma(X)$
$h^{-1} (0) =\Omega\setminus A \cap (-\Omega\setminus A)\in \sigma(X)$

Тогда в силу единственности условного мат. ожидания $\mathbb{P}(A|\sigma(X))  =\mathbb{E}(\mathbb{I}_A |\sigma(X))  =\frac{1}{2} \mathbb{I}_A (\omega) + \frac{1}{2} \mathbb{I}_A (-\omega)  $

б) Здесь доказательсво по-сути то же самое, но с доказательством измеримости $\frac{1}{2} Y (\omega) + \frac{1}{2} Y(-\omega)$ возникают проблемы.
Относительно вопроса о $\mathbb{E}(Y|X=x) $. Полагаю, что $\mathbb{E}(Y|X=x) = \frac{1}{2} Y (\sqrt{x}) + \frac{1}{2} Y(-\sqrt{x})$.

2. Здесь я что-то попадаю в ступор


Подскажите, пожалуйста, верны ли мои рассуждения в задаче 1 и подскажите, с какой стороны подступиться в задаче 2.

P.S. Если с этими задачами пойдет все гладко, я планирую позадавать вопросы по упражнениям из этого учебника

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из учебника А.Н. Бородина
Сообщение23.12.2013, 06:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Kirill_SV в сообщении #804819 писал(а):
б) Здесь доказательсво по-сути то же самое, но с доказательством измеримости $\frac{1}{2} Y (\omega) + \frac{1}{2} Y(-\omega)$ возникают проблемы.

Во-первых, эта функция измерима относительно $\mathcal F$ как сумма двух измеримых функций. Поэтому для любого борелевского множества $B$ множество $A=\{\omega~|~\frac12Y(\omega)+\frac12Y(-\omega)\in B\}$ борелевское. Осталось проверить, что если $\omega \in A$, то и $-\omega\in A$, т.е. $A\in\sigma(X)$.

Остальное всё верно.

Что до второй, то прежде всего следует определиться с тем, как выглядят множества из $\sigma(X)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из учебника А.Н. Бородина
Сообщение23.12.2013, 23:04 


06/12/13
6
--mS-- в сообщении #805002 писал(а):
Во-первых, эта функция измерима относительно $\mathcal F$ как сумма двух измеримых функций. Поэтому для любого борелевского множества $B$ множество $A=\{\omega~|~\frac12Y(\omega)+\frac12Y(-\omega)\in B\}$ борелевское. Осталось проверить, что если $\omega \in A$, то и $-\omega\in A$, т.е. $A\in\sigma(X)$.

Спасибо! С этим теперь ясно.
По второй задаче: думаю, что можно сказать так - $\sigma(X) = \mathcal{B}([-\frac{1}{2}, -\frac{1}{6}]) \cup \{A \cup (-3  A) | A \in \mathcal{B}([-\frac{1}{6},0]) \}$.
Теперь, стандартно, пользуемся определением условного мат ожидания:
для $A=A_1 \cup A_2$ где $A_1 \in \mathcal{B}([-\frac{1}{2}, -\frac{1}{6}]), A_2 = B \cup (-3  B), B \in \mathcal{B}([-\frac{1}{6},0]) $
$\int_{A} \mathbb{E}[Y|\sigma(X)] \mathbb{P}(d\omega) =\int_{A} Y(\omega) \mathbb{P}(d\omega) =\int_{A} Y(\omega) d\omega = \int_{A_1} Y(\omega) d \omega + \int_{B \cup (-3  B)} Y(\omega) d \omega $

Каждый интеграл рассмотрим по отдельности:
первый: $\int_{A_1} Y(\omega) d \omega = \int_{A\cap [-\frac{1}{2},-\frac{1}{6}]} Y(\omega) d \omega=\int_{A}Y(\omega) \mathbb{I}_{ [-\frac{1}{2},-\frac{1}{6}]}(\omega) d \omega$

второй: $\int_{B \cup (-3  B) } Y(\omega) d \omega =\int_{B}Y(\omega) d \omega+\int_{-3 B}Y(\omega) d \omega=$
$= \frac{1}{2}(\int_{B}Y(\omega) d \omega+3\int_{B}Y(-3\omega) d \omega)+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}\int_{-3 B}Y(-\frac{1}{3} \omega) d \omega+\int_{-3 B}Y(\omega) d \omega)  =$

$\frac{1}{2}\int_{A}(Y(\omega)+3Y(-3\omega) ) \mathbb{I}_{ [-\frac{1}{6},0]}(\omega) d \omega + \frac{1}{2}\int_{A}(\frac{1}{3}Y(-\frac{1}{3} \omega) +Y(\omega) ) \mathbb{I}_{ [0,\frac{1}{2}]}(\omega) d \omega$

Собираем все вместе:

$\int_{A} \mathbb{E}[Y|\sigma(X)] \mathbb{P}(d\omega) =\int_{A}Y(\omega) (\mathbb{I}_{ [-\frac{1}{2},-\frac{1}{6}]}(\omega) +\frac{1}{2}\mathbb{I}_{ [-\frac{1}{6},\frac{1}{2}]}(\omega))+\frac{3}{2}Y(-3\omega)  \mathbb{I}_{ [-\frac{1}{6},0]}(\omega)+ \frac{1}{6}Y(-\frac{1}{3} \omega)  \mathbb{I}_{ [0,\frac{1}{2}]}(\omega) d \omega $

Теперь надо проверить, что
$h(\omega) =Y(\omega) (\mathbb{I}_{ [-\frac{1}{2},-\frac{1}{6}]}(\omega) +\frac{1}{2}\mathbb{I}_{ [-\frac{1}{6},\frac{1}{2}]}(\omega))+\frac{3}{2}Y(-3\omega)  \mathbb{I}_{ [-\frac{1}{6},0]}(\omega)+ \frac{1}{6}Y(-\frac{1}{3} \omega)  \mathbb{I}_{ [0,\frac{1}{2}]}(\omega) $
измерима относительно $\sigma(X)$
Рассмотрим $A=\{\omega~|~h(\omega)\in B\}$ ($B$ - борелевское)
если $\omega \in A \cap [-\frac{1}{2},-\frac{1}{6}]$, то $h(\omega) =Y(\omega) \in B $. Следовательно $w\in Y^{-1}(B) \cap  [-\frac{1}{2},-\frac{1}{6}] \in \sigma(X)$
если $\omega \in A \cap [-\frac{1}{6},0]$, то $h(\omega) =\frac12 Y(\omega) + \frac32 Y(-3\omega) \in B $. Надо показать, что $-3 \omega \in A$. Ясно, что $-3\omega \in [0,\frac12]$ и $h(-3\omega) = \frac12 Y(-3\omega) + \frac16  Y(\omega) = \frac13 h(\omega)$. Но тут совсем не обязательно, что $\frac13 h(\omega) \in B$. Где я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из учебника А.Н. Бородина
Сообщение24.12.2013, 03:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Естественно, не обязательно. Вы зря завели веса по половине. Надо ввести такие веса, чтобы (самая последняя строчка) $h(-3\omega)=h(\omega)$. Видимо, это будут $\frac14$ и $\frac34$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из учебника А.Н. Бородина
Сообщение24.12.2013, 08:32 


06/12/13
6
--mS-- в сообщении #805346 писал(а):
Естественно, не обязательно. Вы зря завели веса по половине. Надо ввести такие веса, чтобы (самая последняя строчка) $h(-3\omega)=h(\omega)$. Видимо, это будут $\frac14$ и $\frac34$.


Вы правы, веса должны быть $\frac14$ и $\frac34$. Окончательным ответом тогда будет

$\mathbb{E}[Y|\sigma(X)](\omega) = $
$=Y(\omega) \mathbb{I}_{[-\frac12,-\frac16]}(\omega)+(\frac14 Y(\omega)+\frac34 Y(-3\omega)) \mathbb{I}_{[-\frac16,0]}(\omega)+(\frac34 Y(\omega)+\frac14 Y(-\frac13 \omega)) \mathbb{I}_{[0,\frac12]}(\omega) $

Если я правильно понимаю, то делать интервалы непересекающимися особого смысла нет, так как условное мат. ожидание определяется с точностью до множества нулевой меры

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из учебника А.Н. Бородина
Сообщение24.12.2013, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Совершенно верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из учебника А.Н. Бородина
Сообщение03.01.2014, 15:01 


06/12/13
6
Добрый день!
Еще одно упражнение из Бородина:

Пусть случайные величины $X, Y, Z$ - такие, что $\mathbb{E} |Y| < \infty $ и сигма-алгебры $\sigma(X, Y)$ и $\sigma(Z)$ независимы.
Доказать, что $\mathbb{E} [Y| \sigma(X,Z)] = \mathbb{E} [Y | \sigma(X) ]$.

Откровенно говоря, идей по этому поводу у меня что называется "кот наплакал":

- первое, это то что $\sigma(X,Y)$ мельче $\sigma(X)$, т.е. $\sigma(X)\subset\sigma(X,Y)$

- существует такая борелевская функция $\varphi(x,z)$, что $\mathbb{E} [Y| \sigma(X,Z)] =\varphi (X,Z) $.
С учетом первого, $ \mathbb{E} [Y | \sigma(X) ] =  \mathbb{E} [\mathbb{E} [Y| \sigma(X,Z)]  | \sigma(X) ] =\mathbb{E} [\varphi (X,Z) | \sigma(X) ]=\psi(X)$, где $\psi (x) = \mathbb{E} [\varphi (x,Z) ]$.

Таким образом, надо показать, что $\varphi(x,z) = \psi(x)$ для любых $(x,z)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из учебника А.Н. Бородина
Сообщение03.01.2014, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Воспользуйтесь определением: чтобы доказать, что $\mathsf E(Y\,|\,X,Z)=Y_1$, где $Y_1=\mathsf E(Y\,|\,X)$, достаточно проверить, что для всякого $C\in {\mathfrak B}(\mathbb R^2)$
$$\mathsf E(Y\cdot I((X,Z)\in C)) = \mathsf E(Y_1 \cdot I((X,Z)\in C)).$$
Возьмите для начала набор множеств $C=A\times B$, и воспользуйтесь тем, что $Y_1$ измерим относительно $X$, и независимостью $X$ и $Y$ от $Z$. Ну а переход от равенства на множествах $C$, являющихся прямоугольниками, к произвольным борелевским - дело техники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из учебника А.Н. Бородина
Сообщение04.01.2014, 17:56 


06/12/13
6
--mS-- в сообщении #809249 писал(а):
... для всякого $C\in {\mathfrak B}(\mathbb R^2)$ ...

меня немного смущает этот момент. Возможно, мне надо было упомянуть раньше, что $\sigma(X,Z)$ определяется в пояснении к задаче, как наименьшая сигма-алгебра, содержащая события $\{\omega : ~ X(\omega) \in \Delta_1, Z(\omega) \in \Delta_2 \}$ для произвольных борелевских $\Delta_1$ и $\Delta_2$.

Ваш ответ натолкнул меня на такой вариант:

обозначим $Y_1 = \mathbb{E} [Y|X], Y_2 = \mathbb{E} [Y|X, Z]$.
Поехали:

$\mathbb{E}[Y_1 \mathbb{I}_{\Delta_1}(X) \mathbb{I}_{\Delta_2}(Z)]= \{ \sigma(X,Y) \text{ не зависит от } \sigma(Z)\}=$

$ =\mathbb{E}[Y_1 \mathbb{I}_{\Delta_1}(X)] \mathbb{E}[\mathbb{I}_{\Delta_2}(Z)] =\{\text{по определению } Y_1\}= \mathbb{E}[Y\mathbb{I}_{\Delta_1}(X)] \mathbb{E}[\mathbb{I}_{\Delta_2}(Z)]= $

$=\mathbb{E}[Y \mathbb{I}_{\Delta_1}(X) \mathbb{I}_{\Delta_2}(Z)]=\{\text{по определению } Y_2\}=\mathbb{E}[Y_2 \mathbb{I}_{\Delta_1}(X) \mathbb{I}_{\Delta_2}(Z)]$

а так как $Y_1$ еще и измерима относительно $\sigma(X,Z)$, то заключаем, что $ Y_1 = Y_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из учебника А.Н. Бородина
Сообщение04.01.2014, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Kirill_SV в сообщении #809482 писал(а):
меня немного смущает этот момент. Возможно, мне надо было упомянуть раньше, что $\sigma(X,Z)$ определяется в пояснении к задаче, как наименьшая сигма-алгебра, содержащая события $\{\omega : ~ X(\omega) \in \Delta_1, Z(\omega) \in \Delta_2 \}$ для произвольных борелевских $\Delta_1$ и $\Delta_2$.

Наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая эти события и есть сигма-алгебра, состоящая из множеств $\{\omega\in \Omega\,:\, (X,Z)\in C\}$ по всем $C\in {\mathfrak B}(\mathbb R^2)$.

"Ответ натолкнул" говорят обычно, когда делают что-то своё, а не то, что предлагалось. Вы же делаете ровно то, что предлагалось.
После этого ещё придётся показывать, что для любого множества из сигма-алгебры $\sigma(X, Z)$ выполняется то же самое, а не только для декартовых произведений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из учебника А.Н. Бородина
Сообщение04.01.2014, 22:23 


06/12/13
6
--mS-- в сообщении #809489 писал(а):
Наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая эти события и есть сигма-алгебра, состоящая из множеств $\{\omega\in \Omega\,:\, (X,Z)\in C\}$ по всем $C\in {\mathfrak B}(\mathbb R^2)$.

С этим понятно, я сначала немного запутался

--mS-- в сообщении #809489 писал(а):
"Ответ натолкнул" говорят обычно, когда делают что-то своё, а не то, что предлагалось. Вы же делаете ровно то, что предлагалось.
После этого ещё придётся показывать, что для любого множества из сигма-алгебры $\sigma(X, Z)$ выполняется то же самое, а не только для декартовых произведений.

Согласен, идея Ваша :)

А насчет доказательства для любого множества, а не только прямоугольника.
Пусть $H = Y_1 - Y_2$. Для любых борелевских $\Delta_1, \Delta_2$ доказано, что $\mathbb{E}[H \mathbb{I}_{\Delta_1} (X) \mathbb{I}_{\Delta_2} (Z)] = 0$

Рассмотрим $\mu(A_1\times A_2) = \mathbb{E}[H \mathbb{I}_{A_1} (X) \mathbb{I}_{A_2} (Z)]$ на полукольце $ {\mathfrak B}(\mathbb R) \times {\mathfrak B}(\mathbb R) $
Всем требованиям меры $\mu$ удовлетворяет, кроме того является сигма-аддитивной мерой.
Далее, аналогично тому, как строится мера Лебега, можем продолжить $\mu$ на сигма-алгебру $\sigma( {\mathfrak B}(\mathbb R) \times {\mathfrak B}(\mathbb R) )$ и везде наша $\mu$ будет равна нулю, что и требуется показать.

Это похоже на то, что надо?

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи из учебника А.Н. Бородина
Сообщение04.01.2014, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Да, но по мне так проще использовать "принцип подходящих множеств" А.Н.Ширяева. Собрать в множество $\mathcal A$ все такие $B\subseteq \mathbb R^2$, для которых $\mathsf E (H\cdot I_B((X,Z)))=0$. Доказать, что это множество - сигма-алгебра. Заметить, что декартовы произведения борелевских туда входят. Сделать вывод, что $\mathcal A\supseteq {\mathfrak B}(\mathbb R^2)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group