Вопрос по задаче двух тел

[Omega]

Уважаемые форумчане, помогите пожалуйста разобраться со следующим, крайне интересующем меня, вопросом; всем заранее спасибо:
Имеется две точечных массы $m_{1}$ и $m_{2}$. Между ними известно начальное расстояние - $l_{0}$. Каждому из этих тел придают начальные скорости $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$.

А вопрос состоит в том, каким конкретно образом зависят траектории движения обеих частиц в зависимости от направлений начальных скоростей?

Как известно (предположим, что в начале цент масс находился в начале координат) :

$$\begin{cases}\vec{r\!}\,_{1}=\vec{r\!}\,_{\text{ц.м.}}+\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \vec{\Delta r\!}\\\vec{r\!}\,_{2}=\vec{r\!}\,_{\text{ц.м.}}-\dfrac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \vec{\Delta r\!}\end{cases}$$

Где $\vec{r\!}\,_{\text{ц.м.}}=\dfrac{m_{1}\vec{v}_{2}+m_{2}\vec{v}_{1}}{m_{1}+m_{2}} t$ , а $\vec{\Delta r\!}=\vec{r\!}\,_{1}-\vec{r\!}\,_{2}$.
Итак, далее:

$$\ddot{\Delta\vec{ r\!}}=-\dfrac{G(m_{1}+m_{2})\vec{\Delta r\!}}{|\vec{\Delta r\!}\,|^{3}}$$

Из теории движения в центральном поле:

$$|\vec{\Delta r\!}\,(\varphi})|=\dfrac{p}{1+e \cos{(\varphi-\varphi_{0})}}$$

Где: $p=\dfrac{L^{2}}{G\mu(m_{1}+m_{2})};e=\sqrt{1+2\mu E \left (\dfrac{L}{G\mu^{2}(m_{1}+m_{2})}\right )^{2}}$

Осталось теперь лишь убедиться в правильности выкладок и ответить на вопрос: как найти начальный момент импульса системы? Относительно какой точки его нужно отсчитывать?

Правильно ли: $L=| m_{1} [\vec{r}_{10} \times \vec{v}_{1}]+ m_{2} [\vec{r}_{20} \times \vec{v}_{2}]|$ , где $\vec{r}_{10},\vec{r}_{20}$ - радиус-вектора начального положения частиц относительно ц.м.?

[Munin]

Omega в сообщении #809136 писал(а):

Осталось теперь лишь убедиться в правильности выкладок и ответить на вопрос: как найти начальный момент импульса системы?

Там, откуда вы эти выкладки списывали (не сами же вывели, раз вам ещё надо "убедиться в правильности"), там подробно написано, что обозначено за $L,$ и относительно чего это момент.

Позорище.

[Omega]

Munin, ниоткуда выкладки я эти, к Вашему сведению, не списывал: всё это я взял из аналогии обычного движения в центральном поле вокруг неподвижного центра и задачи двух тел
Просто я всё ещё никак не могу сообразить, что делать с моментом импульса. Поэтому и прошу помощи

[Oleg Zubelevich]

Введем систему координат с центром в точке $m_2$ движущуюся поступательно. Наблюдатель сидящий в этой системе видит, что тело $m_1$ движется по закону

Omega в сообщении #809136 писал(а):

а [math]$\vec{\Delta r\!}=\vec{r\!}\,_{1}-\vec{r\!}\,_{2}$.
Итак, далее:

$$\ddot{\Delta\vec{ r\!}}=-\dfrac{G(m_{1}+m_{2})\vec{\Delta r\!}}{|\vec{\Delta r\!}\,|^{3}}$$

$\Delta r$ -- это как раз радиус-вектор тела $m_1$ в данной системе.

[epros]

Omega в сообщении #809156 писал(а):

всё это я взял из аналогии обычного движения в центральном поле вокруг неподвижного центра и задачи двух тел

Вау, да Вы молодец. Сами про аналогию сообразили, без учебника?

Omega в сообщении #809156 писал(а):

Просто я всё ещё никак не могу сообразить, что делать с моментом импульса.

А что с ним надобно делать? Вроде бы как он сохраняется (я имею в виду момент относительно центра масс).

[Omega]

Oleg Zubelevich, под $\vec{\Delta r}$ я таки как раз и подразумеваю вектор относительного расстояния между частицами.
epros, то есть мы просто ищем сумму двух векторов начального момента имульса относительно ц.м., как обычно?

[Утундрий]

Omega в сообщении #809136 писал(а):

Как известно

Omega в сообщении #809136 писал(а):

Из теории движения в центральном поле

Без этих отсылов в лес будет только проще. Выведите всё из чистого незамутнённого Ньютона. Во-первых, это будет полезно, а во-вторых - очень трудно ошибиться.

[Oleg Zubelevich]

домножте векторно уравнение

Omega в сообщении #809136 писал(а):

$$\ddot{\Delta\vec{ r\!}}=-\dfrac{G(m_{1}+m_{2})\vec{\Delta r\!}}{|\vec{\Delta r\!}\,|^{3}}$$

на $\Delta r$ и будет вам закон сохранения момента импульса в указанной системе для соответствующей задачи

[epros]

Omega в сообщении #809168 писал(а):

epros, то есть мы просто ищем сумму двух векторов начального момента имульса относительно ц.м., как обычно?

Разумеется суммарный момент импульса системы есть сумма моментов импульса составляющих её тел.

[Munin]

Omega в сообщении #809156 писал(а):

всё это я взял из аналогии обычного движения в центральном поле вокруг неподвижного центра и задачи двух тел

А аналогия где описана? Вот там и зарыта собака.

[Утундрий]

Это не аналогия, а полноценное сведение, только в обратном направлении: два тела $ \to $ одно тело. И за неё таки надо быть в куrсе, а то пока что, да простит меня ТС, складывается впечатление, что магический Ц.М. ему принёс Архангел с Небес.

[Munin]

Утундрий в сообщении #809183 писал(а):

Это не аналогия, а полноценное сведение

Тс-с-с, пусть ТС сам ответит.

[Omega]

Движение вокруг неподвижной массы: тангенциальное ускорение равно нулю, радиальное равно силе притяжения делённая на массу, в итоге получаем систему уравнений:

$$\begin{cases}\dfrac{d^2 r}{d t^2}-r \left (\dfrac{d \varphi}{dt} \right)^{2}=\dfrac{-GM_{0}}{r} \\ 2 \left (\dfrac{d \varphi}{dt} \dfrac{dr}{dt} \right)+r \dfrac{d^2 \varphi}{d t^2}=0\end{cases}$$

Которая приводится к уравнениям с производными только функции расстояния от угла и угла от времени:

$$\begin{cases}\left (\dfrac{d \varphi}{dt} \right)^{2} \dfrac{d^2 r}{d \varphi^2}+\dfrac{d^2 \varphi}{d t^2}\dfrac{dr}{d\varphi}-r\left (\dfrac{d \varphi}{dt} \right)^{2}=\dfrac{-GM_{0}}{r} \\ 2\left (\dfrac{d \varphi}{dt} \right)^{2}\dfrac{dr}{d\varphi}+r \dfrac{d^2 \varphi}{d t^2}=0 \end{cases}$$

Что далее упрощается с использованием закона сохранения момента импульса: время исключается из уравнений...
Таким образом можно и прийти к уравнению конического сечения!
Затем $GM_{0}$, очевидно, заменяем на $m_{1}+m_{2}$, массу -на приведённую массу

[Утундрий]

Тангенциальное... Рано про одно, начните с двух тел и сведите к движению одного. Хотя бы при помощи первого тома курса теоретической физики Ландау и Лифшица.

[epros]

Omega в сообщении #809189 писал(а):

массу -на приведённую массу

Хм, и до употребления термина "приведённая масса" сами догадались, без учебника?