Тензорная алгебра и внешние формы

[exitone]

А именно формула Стокса-Пуанкаре ,

$\int\limits_M d\omega = \int\limits_{\partial{M}} \omega$

которая является обобщением следующих формул: Формула Ньютона — Лейбница, Теорема Грина, Формула Кельвина — Стокса, Формула Остроградского — Гаусса.

Учусь на факультете НБИК МФТИ, знаю, что на остальном физтехе о внешних формах не роняют ни слова. По-видимому, кафедра высшей математики считает, что изучать весь семестр классические доказательства вышеперечисленных формул оправданно. Я не слушал стандартного курса на этот счет, поэтому и поднимаю тему.

Для того, чтобы определить внешние формы, необходимо небольшое введение в тензорную алгебру. Возможно не всем так просто привыкнуть к тензорам, но ведь они необходимы в современной науке, поэтому это только плюс.

В нашем курсе нам не упоминали о мере Жордана, все рассказывалось в терминах триангуляции и криволинейного К-симплекса.

Доказав формулу Стокса, нам за пол пары вывели все вышеперечисленные.
Хотел бы обсудить методическую сторону вопроса.

Нам рассказывали это в курсе математического анализа (3 семестр). Насколько по-вашему это было оправдано? Насколько важны классические доказательства для понимания раздела?

[Munin]

exitone в сообщении #808596 писал(а):

А именно формула Стокса-Пуанкаре

Гуглится обычно по названию "обобщённая теорема Стокса".

exitone в сообщении #808596 писал(а):

Хотел бы обсудить методическую сторону вопроса.

Тут всё очень просто. Физик должен уметь разговаривать на одном языке с физиками. Читать физические книжки и статьи, и писать тоже такие статьи, которые будут читабельны другими физиками.

А среди физиков знание о дифференциальных формах практически не распространено, в отличие от знания о тензорах. Тензоры знают все. Дифформы - только те 10 % физиков, которые случайно соприкасались с математикой.

Отсюда проблема: учить-то надо на физика...

P. S. Вообще-то дифформы - тоже не самое крутое ещё в математике. Есть коцепи и когомологии, например.

[provincialka]

Я думаю, что чисто методически оправдан путь "от простого к сложному". Пока студенты не "потрогали руками" криволинейные и поверхностные интегралы, формулы Грина, Стокса и Остроградского - обобщенная теорема будет для них некоей пиктограммой, свалившейся с неба. Если же обобщенная формула идет после перечисленных, она вызывает ощущение восторга (у меня, по-крайней мере, вызывала). Тем, что такие разные на вид формулы сводятся к одной. А восторг способствует запоминанию. Но... - вечная проблема: время, время... Нет его у преподавателя.

[exitone]

Внешние формы то нужны не только для того, чтобы наводить красоту, но кое-где они могут оказаться удобными. Но, у этих удобств есть и недостатки. Немного мыслей:

На языке операторов поднятия-опускания индекса и оператора ходжа(плюс оператор дифференцирования) можно записать операторы $ \operatorname{div}, \operatorname{rot}, \operatorname{grad}$, собственно на этом же языке их очень удобно переписывать в разных системах координат. Но, насколько я понимаю, в физике принята сейчас терминология коэффициентов Ламе, и более того всегда проще обратиться к справочникам.

Умея оперировать внешними формами, можно не обращаться к якобиану перехода (который тоже глубоко устоялся в терминалогии физиков).

По-видимому, уравнение Гамильтона-Якоби не изучаются в курсе уравнений мат. физики потому что студентов не знакомят с дифф. формами. (в МГУ-шном учебнике не нашел). Наверно достаточно прикосновения с данным уравнением в аналитической механике...

Получается, что сей аппарат дает ни столько дополнительных возможностей, сколько обходных путей, которые могли бы способствовать усвоению материала, но, как выразилась provincialka, на это нету времени...

[epros]

exitone в сообщении #808596 писал(а):

Учусь на факультете НБИК МФТИ, знаю, что на остальном физтехе о внешних формах не роняют ни слова.

Для физтеха (в отличие от мехмата, например) характерен такой подход - не слишком заморачиваться на строгой математике там, где и без этого можно как-то обойтись. Типичный пример: интегральные законы сохранения в ОТО, которые Ландау-Лифшиц записывает как интегральное уравнение со свободным координатным индексом (кстати, у Эйнштейна он тоже записывался со свободным координатным индексом, хотя сама формула другая). Настоящий математик когда видит у интеграла свободный координатный индекс, то сразу приходит в ступор... Тем не менее, по этому учебнику несколько поколений выпускников физтеха выучились. Или другой пример: дельта-функция Дирака. Когда П. Дирак её вводил, он ничего не говорил ни про какие "линейные функционалы". Физикам это и не было нужно. Только когда у математиков добрались до этого руки, они как-то попытались придать понятию дельта-функции строгую математическую форму, вот тогда и появились все эти линейные функционалы.

[Munin]

exitone в сообщении #809150 писал(а):

Но, насколько я понимаю, в физике принята сейчас терминология коэффициентов Ламе, и более того всегда проще обратиться к справочникам.

Физика большая и разная. Есть теория сплошной среды, там коэффициенты Ламе. Есть ОТО и теория поля - там коэффициенты связности. Последние универсальней: позволяют не только разные системы координат, но и разные многообразия.

exitone в сообщении #809150 писал(а):

По-видимому, уравнение Гамильтона-Якоби не изучаются в курсе уравнений мат. физики

Вообще-то оно изучается в теормеханике. Для урматфизики оно "простовато": за выделенное на курс время - хорошо бы успеть охватить линейные ДУЧП второго порядка. На всевозможные "шаги в сторону", как то:
- ДУЧП первого порядка;
- ДУЧП нелинейные (с малой нелинейностью, с большой нелинейностью);
- ДУЧП высших порядков;
- системы ДУЧП и векторные ДУЧП
 - времени просто не остаётся. Приходится всё это "проходить" в соответствующих разделах физики. Со скудными кивками на талмуды и справочники по математике.

exitone в сообщении #809150 писал(а):

Получается, что сей аппарат дает ни столько дополнительных возможностей, сколько обходных путей

Вообще-то он даёт мощный vision, позволяющий анализировать много вопросов вообще в уме. Не знаю, по вашей классификации - это дополнительные возможности или обходные пути?

epros в сообщении #809160 писал(а):

Для физтеха (в отличие от мехмата, например) характерен такой подход - не слишком заморачиваться на строгой математике там, где и без этого можно как-то обойтись.

В данном конкретном случае это ни при чём.

[epros]

Munin в сообщении #809185 писал(а):

epros в сообщении #809160 писал(а):

Для физтеха (в отличие от мехмата, например) характерен такой подход - не слишком заморачиваться на строгой математике там, где и без этого можно как-то обойтись.

В данном конкретном случае это ни при чём.

Вы полагаете? Ту же обобщённую теорему Стокса тот же ЛЛ2 употребляет без всяких ссылок на внешние формы. Я так полагаю, что это не случайно, а как раз потому, что для физика "поток чего-то через элемент гиперповерхности" проще мыслить не через строго математически определённые понятия внешних форм, а через нечто, наглядно представляемое в форме параллелепипеда и как раз именуемое "элементом гиперповерхности".

Я сам хорошо помню, как в школьные годы пытался разобраться с уравнениями Максвелла и по несчастливой случайности в качестве источника знаний о том, что такое "дивергенция", использовал учебник Кудрявцева по матану. Как я ни ломал голову, смысла всего этого тогда так и не понял. А потом уже в курсе общей физики нашёл простое и понятное объяснение на пальцах: как отношение потока через поверхность к объёму.

[Munin]

epros в сообщении #809209 писал(а):

Ту же обобщённую теорему Стокса тот же ЛЛ2 употребляет без всяких ссылок на внешние формы.

Он её вообще не употребляет.

epros в сообщении #809209 писал(а):

Я так полагаю, что это не случайно, а как раз потому, что для физика "поток чего-то через элемент гиперповерхности" проще мыслить не через строго математически определённые понятия внешних форм, а через нечто, наглядно представляемое в форме параллелепипеда и как раз именуемое "элементом гиперповерхности".

Не вижу, каким образом это взаимоисключающие вещи. И не вижу, каким образом поток чего-то - обязательно внешняя форма. Есть и другие тензоры.

[Oleg Zubelevich]

exitone в сообщении #809150 писал(а):

По-видимому, уравнение Гамильтона-Якоби не изучаются в курсе уравнений мат. физики потому что студентов не знакомят с дифф. формами. (в МГУ-шном учебнике не нашел)

Курс Кружкова посмотрите или Радкевича. В УРЧП уравнение Гамильтона-Якоби изучается в терминах характеристик, дифференциальные формы при таком подходе не возникают. Кстати, там уравнением Гамильтона -Якоби называется несколько более общее уравнение: $S_t=f(S,S_x,x,t)$ это соответствует уравнениям Гамильтона с некоторой специальной вязкостью.

-- Пт янв 03, 2014 21:14:34 --

Munin в сообщении #809185 писал(а):

Есть теория сплошной среды, там коэффициенты Ламе. Есть ОТО и теория поля - там коэффициенты связности. Последние универсальней: позволяют не только разные системы координат, но и разные многообразия.

В МСС используются и символы Кристоффеля и тензор кривизны и "разные многообразия".

Что касается внешних форм, то этот аппарат и, в частности, общая формула Стокса, уже давно является стандартом. Студентам физ-мат специальностей, которым его не читают, можно только посочувствовать и посоветовать читать Зорича, для начала.

[epros]

Munin в сообщении #809228 писал(а):

Он её вообще не употребляет.

ЛЛ2 параграф 6 последние полторы страницы, начиная со слов: "Аналогично теоремам Гаусса и Стокса трёхмерного векторного анализа существуют теоремы, позволяющие преобразовывать друг в друга четырёхмерные интегралы". И далее формулы с (6.15) по (6.19). Это что такое?

[Munin]

Это частные случаи обобщённой теоремы Стокса. Настолько же частные, насколько ими являются теорема Ньютона-Лейбница, теорема Грина, теорема Гаусса и теорема Стокса. Частность: в 4-мерности; в неприменении этих результатов к гладким многообразиям. Кроме того, отдельно записаны три частных случая, а не общая формула для них (включающая, кроме того, аналог теоремы Ньютона-Лейбница).

[epros]

Ну вот и замечательно. ЛЛ2 употребляет обобщённую (т.е. не трёхмерную) теорему Стокса применительно к тем частным случаям, которые интересны для теории поля. И при этом не упоминает о внешних формах, что с моей точки зрения не случайно. В такой форме моя мысль понятна?

[Munin]

epros в сообщении #809370 писал(а):

ЛЛ2 употребляет обобщённую (т.е. не трёхмерную) теорему Стокса

Там же написано, что он употребляет. Не теорему Стокса. Для примеров он выбирает скалярные интегралы, но это "совпадение". Так что, скорее ваша интерпретация - домысел.

[olenellus]

exitone в сообщении #808596 писал(а):

В нашем курсе нам не упоминали о мере Жордана, все рассказывалось в терминах триангуляции и криволинейного К-симплекса.

По какому-то учебнику? Если нет, то есть ли копии лекций?

exitone в сообщении #808596 писал(а):

Учусь на факультете НБИК МФТИ, знаю, что на остальном физтехе о внешних формах не роняют ни слова.

Ну, это, несомненно, преувеличение

[exitone]

olenellus в сообщении #830664 писал(а):

Ну, это, несомненно, преувеличение

да, я имел в виду, что в курсе мат. анализа вы их не касаетесь, но видимо в физике было? может быть так и нужно.

olenellus в сообщении #830664 писал(а):

По какому-то учебнику? Если нет, то есть ли копии лекций?

я вам в личку скину