уравнение с параметром

[function]

Здравствуйте! Всех с Новым составным годом! Подскажите, как можно решить МГУшную задачу 2013 года:
$ \text{При каких значениях параметра}\; a\; \text{уравнение}\; \sin \left(x+\cfrac{a}{x}\right)=x+1\; \text{имеет бесконечно много корней?}$
Понятно, что решать это уравнение --- безумие, строить график (вручную) --- безумие, остаётся только проводить анализ функций. Но какой именно --- вот в чём вопрос.

[gris]

А какое там безумее? Где вообше может появится бесконечное число корней? Только в полуокрестности одной точки. Можно и посмотреть пристальнее на эту окрестность. Подумать о бесконечности, о непрерывности. Только мне кажется, что-то там не то в условиях.

[function]

gris в сообщении #808635 писал(а):

А какое там безумее? Где вообше может появится бесконечное число корней? Только в полуокрестности одной точки. Можно и посмотреть пристальнее на эту окрестность.

А какой именно точки?

[gris]

Ну вот представьте. Синус функция ограниченная. Правая часть — прямая. В область значений левой части может войти вообще только отрезок. То есть для бесконечного числа пересечений левая часть должна иметь либо прямолинейный участок, чего нет, либо бесконечное число колебаний. А где синус может иметь бесконечное число колебаний? Только в бесконечности. А где бесконечность у скобки в левой части? В ну...

Только нужно уловить то значение параметра, при котором скобка не имеет бесконечности. Это тоже ну...

В общем: ну и ну...

Только я до сих пор в сомнении насчёт правильности представления условия.

[provincialka]

gris, виртуозная подсказка. Ее еще бы в стихах...function, вы все-таки попробуйте построить график!

[tatkuz1990]

Задача больше логическая. Нужно рассмотреть пересечения с осью 0X функции: $y=\sin \left (x+\frac{a}{x} \right )-x-1$

При значительных $|a|$ область пересечения функции находится в интервале $(-2,0]$. По мере увеличения $|a|$ число пересечений с осью X возрастает и в пределе $|a|=\infty$ на отрезке $[-2,0]$ будем иметь бесконечное количество корней.

[function]

gris, то есть ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\sin\left(x+\cfrac{a}{x}\right)=\infty$ при $a\neq 0$. Почему прямая в правой части обязательно должна бесконечно много раз пересечь синусоиду в левой части (например, в уравнении $\sin\left(x+\cfrac{1}{x}\right)=x+1$)? Как доказать этот факт?

[provincialka]

tatkuz1990 а при "незначительных"? Кажется, это новое определение для чисел

(Оффтоп)

Собственно, в этой задаче только одно "незначительное" значение

-- 02.01.2014, 16:24 --

function в сообщении #808650 писал(а):

то есть ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\sin\left(x+\cfrac{a}{x}\right)=\infty$

"В военное время синус может достигать 4". Но вот чтобы бесконечности! Это уж конец света!

[function]

provincialka в сообщении #808654 писал(а):

tatkuz1990 а при "незначительных"? Кажется, это новое определение для чисел

(Оффтоп)

Собственно, в этой задаче только одно "незначительное" значение

-- 02.01.2014, 16:24 --

function в сообщении #808650 писал(а):

то есть ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\sin\left(x+\cfrac{a}{x}\right)=\infty$

"В военное время синус может достигать 4". Но вот чтобы бесконечности! Это уж конец света!

Туплю...

[gris]

Предел правильный, но только если без синуса. Аргумент синуса непрерывно и монотонно стремится к той или другой бесконечности при приближении $x$ к нулю. Но не для всех $a$! Для одного значения $a$ у нас обычный синус и всего один корень. Это значение отделяем.
А доказать строго попробуйте используя непрерывность. Ведь левая часть в окрестности нуля бесконечное число раз равна $1$ и бесконечное число раз $0$. Причём по очереди. Ну вот и используем напрерывность. Ну ещё надо показать, при каких $a$ аргумент синуса стремится к бесконечности.

[function]

Большое спасибо, gris, всё ПРЕДЕЛьно ясно.

В каком задачнике я могу встретить задачи на свойства функций, связанных с пределами, подскажите пожалуйста? Стало очень интересно!

[tatkuz1990]

provincialka, вы можете проверить, построив график $y$ при $|a|=100$:



Видите, интервал на оси 0X где есть пересечения?

[gris]

tatkuz1990, Ваши верные рассуждения остаются верными для любого ненулевого значения параметра, о чём provincialka и говорила. Даже если $a$ равно один в минус декалионной степени. Ой, переборщил . Кажется, таких маленьких чисел не бывает. Ну тогда уж одна миллиардная точно подойдёт, если получше увеличить график.
В общем-то, это задача не на пределы, а на непрерывность. Что функция, принимающая на концах отрезка значения разных знаков, имеет ноль внутри этого отрезка. Или любое аналогичное свойство.

[Otta]

Дополню gris.

tatkuz1990 в сообщении #808649 писал(а):

При значительных $|a|$ область пересечения функции находится в интервале $(-2,0]$.

tatkuz1990 в сообщении #808673 писал(а):

вы можете проверить, построив график $y$ при $|a|=100$:

tatkuz1990
Незачем тут проверять, рисовать и "значительность" ни при чем.
Понятно, что $y=\sin\left(x+\frac ax\right)-x-1$ такова, что для всех $x\;\;{}-2-x\le y\le -x$. Потому $y=0$ только если $-2-x\le 0\le -x$, что происходит, когда $x\in [-2,0)$. Для всех $a$. Но это рассуждение, само собой, не имеет отношения к количеству корней.

[Skeptic]

При любом значении $a$ график $y$ наклоняется $x$ом на 45 градусов, и количество корней конечно. Если правую часть записать как $1+ax$, то появится решение при $a=0$.