Задача о кинетической энергии струны (УМФ)

[danildushistov]

Здравствуйте! Необходимо разобраться в решении такой задачи:

Струна длины $0<x \leqslant l$ с линейной плотностью $\rho = \rho (x,t)$ совершает поперечные колебания со смещением $u(x,t)$ в плоскости $(x,u)$. Найти кинетическую энергию $K$ для случая, когда струна:

а) не имеет сосредоточенных масс;

б) имеет сосредоточенные массы $m_i$ в точках $x_i, i=1,...,n$;



Решение задачи (а):

Представим себе, что струна - это некоторая дуга $AB$, и разобьем ее на $n$ частичных дуг точками $x_1,x_2,...,x_n$. Рассмотрим дугу $x_i,x_{i+1}$ и возьмем на ней некоторую точку, которую обозначим $\xi_i$.

Введем обозначение $\rho(\xi_i)=\rho_i$, величину $x_{i+1}-x_i=\Delta x_i$. Пусть теперь $\Delta m_i=\rho_i \Delta x_i$.

Из физики известно, что кинетическая энергия находится по формуле $E_K=\frac{mv^2}{2}$.

Будем находить скорость в точке $\xi_i$ по формуле $v_i=u(\xi_i,t)$ (преподаватель сказал, что нужно доказать, почему это можно сделать в данной задаче).

Выведем формулу частичной кинетической энергии для промежуточной точки $\xi_i$ на отрезке $[x_i,x_{i+1}]$:

$E_{K_i}=\frac{m_iv_i^2}{2}=\frac{\rho(\xi_i)\Delta x_i u^2(\xi_i,t)}{2}$

Просуммируем величины $E_{K_i}$ по всем $i, i=1,...,n$, тем самым получим интегральную сумму, приближающуюся к искомому значению энергии:

$E_{K}\approx \sum\limits_{i=1}^n E_{K_i}=\frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^n \rho(\xi_i)\Delta x_i u^2(\xi_i,t)$.

В пределе при \lambda \to 0, \lambda = \max\limits_{i=1,...,n}(\Delta x_i)$ получим точное значение энергии:

$E_{K}=\frac{1}{2} \lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^n \rho(\xi_i) u^2(\xi_i,t) \Delta x_i =\int\limits^{l}_{0}\rho(\xi_i) u^2(\xi_i,t)dx$.

Решение задачи (б):

Представим себе, что точки $x_1,...,x_n$ - это грузики, которые прикреплены к струне. Тогда очевидно, что кинетическая энергия струны равна сумме энергии, которую она развивает в условиях задачи (а), и энергий, развиваемых струной во всех точках $x_i, i=1,...,n$. Тогда, если значение энергии в этих точках равно

$E_{K_j}=\frac{m_jv^2}{2}=\frac{m_ju^2(x_j,t)}{2}$,

то суммарная энергия струны в данной задаче равна

$E_{K}=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{i=1}^n m_iu^2(x_i,t) + \int\limits^{l}_{0}\rho(\xi_i) u^2(\xi_i,t)dx \right)$.

Скажите, пожалуйста, правильно ли решены задачи, особенно задача (б)? И еще: помогите, пожалуйста, доказать, что $v_i=u(\xi_i,t)$. Я уже сбился в поисках ответа, но в голову ничего так и не приходит.

Спасибо!

[exitone]

Цитата:

совершает поперечные колебания со смещением $u(x,t)$

производная перемещения - скорость.

$v_i = u_t(\xi_i,t)$

[danildushistov]

exitone в сообщении #808437 писал(а):

производная перемещения - скорость.
$v_i = u_t(\xi_i,t)$

О, спасибо! Теперь все ясно: я неправильно переписал формулы с доски в свое время, а потом преподаватель потребовал объяснений, видя, что написано с ошибками.

Тогда надо переписать решение с учетом исправлений:

Задача (а):

Представим себе, что струна - это некоторая дуга $AB$, и разобьем ее на $n$ частичных дуг точками $x_1,x_2,...,x_n$. Рассмотрим дугу $x_i,x_{i+1}$ и возьмем на ней некоторую точку, которую обозначим $\xi_i$.

Введем обозначение $\rho(\xi_i)=\rho_i$, величину $x_{i+1}-x_i=\Delta \x_i$. Пусть теперь $\Delta m_i=\rho_i \Delta x_i$.

Из физики известно, что кинетическая энергия находится по формуле $E_K=\frac{mv^2}{2}$.

Будем находить скорость в точке $\xi_i$ по формуле $v_i=u_t(\xi_i,t)$, так как скорость является производной перемещения по времени.

Выведем формулу частичной кинетической энергии для промежуточной точки $\xi_i$ на отрезке $x_i,x_{i+1}$:

$E_{K_i}=\frac{m_iv_i^2}{2}=\frac{\rho(\xi_i)\Delta x_i u_t^2(\xi_i,t)}{2}$

Просуммируем величины $E_{K_i}$ по всем $i, i=1,...,n$, тем самым получим интегральную сумму, приближающуюся к искомому значению энергии:

$E_{K}=\sum\limits_{i=1}^n E_{K_i}=\frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^n \rho(\xi_i)\Delta x_i u_t^2(\xi_i,t)$.

В пределе при \lambda \to 0, \lambda = \max\limits_{i=1,...,n}(\Delta x_i)$ получим точное значение энергии:

$E_{K}=\frac{1}{2} \lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^n \rho(\xi_i) u_t^2(\xi_i,t) \Delta x_i =\int\limits^{l}_{0}\rho(\xi_i) u_t^2(\xi_i,t)dx$.

Задача (б):

Представим себе, что точки $x_1,...,x_n$ - это грузики, которые прикреплены к струне. Тогда очевидно, что кинетическая энергия струны равна сумме энергии, которую она развивает в условиях задачи (а), и энергий, развиваемых струной во всех точках $x_i, i=1,...,n$. Тогда, если значение энергии в этих точках равно

$E_{K_j}=\frac{m_jv^2}{2}=\frac{m_ju_t^2(x_j,t)}{2}$,

то суммарная энергия струны в данной задаче равна

$E_{K}=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{i=1}^n m_iu_t^2(x_i,t) + \int\limits^{l}_{0}\rho(\xi_i) u_t^2(\xi_i,t)dx \right)$.