Beautiful geometry

[ins-]

Let $ABC$ is an acute-angled triangle with incircle $k_1$ and circumcircle $k_2$. Its height through $C$ intersects $k_1$ at the points $M$ and $N$. $P$ is the tangency point of $k_1$ with $AB$. $Q$ is the middle of the segment $MN$. $T$ is the middle of the $k_2$'s arc $\overset{\frown}{AB}$ (not containing $C$). Prove that $P$, $Q$ and $T$ are colinear.

[nnosipov]

Вот как раз тот случай, когда механический способ не только позволяет легко доказать утверждение, но и естественным образом его обобщить. Если треугольник $ABC$ не остроугольный, то точек $M$ и $N$, вообще говоря, не существует. Но точка $Q$ есть всегда, если её определить как проекцию инцентра на высоту, проведённую из вершины $C$. Теперь точки $P$, $Q$ и $T$ будут коллинеарны, каким бы ни был исходный треугольник $ABC$.

[ins-]

Thank you for the valuable information. I think it is not a hard problem and it is possible to solve in many ways. I hope it is a beautiful one and the users like it.

[Null]

$TO_{in}=TA=TB$, а дальше легко пропорции записать.

[ins-]

$TO_{in}$ = ?

[Null]

$TO_{in}$ не считал, нужно только $\frac{TO_{in}}{TC}$

[ins-]

Does "in" stands for inversion?

[nnosipov]

ins- в сообщении #808393 писал(а):

$TO_{in}$ = ?

Это расстояние от $T$ до ИНцентра.

[ins-]

C, I and T are on the angle bisector through C, but what is next?

[Null]

На биссектрисе 4 точки: C, I,L(пересечение биссектрисы и стороны) и T.
1.$\frac{CI}{IL}=\frac{a+b}{c}$ (a,b,c -длины сторон) из теоремы Менелая.

2.$\frac{CT}{IT}=\frac{CT}{TA}=\frac{a+b}{c}$

Значит $\frac{CI}{IL}=\frac{CT}{IT}=\frac{IT}{TL}$ (последнее по свойству $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}$)
вычтем 1 из последнего равенства:$\frac{CI}{IT}=\frac{IL}{TL}$
Ну а дальше из теоремы Фалеса получаем 2 подобных прямоугольника с параллельными диагоналями.

[ins-]

1. $CI/IL=(a+b)/c$ (can be obtained from the angle-bisector theorem applied twice)

Can you name the vertices of the rectangles?

Note: Trigonometry can be used to solve the problem in a totally different way.

[Null]

треугольник CLA и биссектриса угла B