Уравнение

[arqady]

Решите следующее уравнение.

$$\frac{x^7}{7}=1+\sqrt[7]{10}x\left(x^2-\sqrt[7]{10}\right)^2$$

Это было у нас на втором туре. Автор: Лев Радзивиловский.

[nnosipov]

Maple покряхтел, но разложил над полем $\mathbb{Q}(\sqrt[7]{2},\sqrt[7]{5})$. Симпатичный пример с красивым ответом. Интересно, кто-нибудь угадал ответ, а потом его просто проверил? Кажется, это самый дешёвый способ решить эту задачу.

[Edward_Tur]

Замена $x=\sqrt[14]{10}t$ приводит к уравнению $T_7(t/2)=\frac{7}{2\sqrt{10}}$ с многочленом Чебышева.

[kknop]

nnosipov в сообщении #808124 писал(а):

Maple покряхтел, но разложил над полем $\mathbb{Q}(\sqrt[7]{2},\sqrt[7]{5})$. Симпатичный пример с красивым ответом. Интересно, кто-нибудь угадал ответ, а потом его просто проверил? Кажется, это самый дешёвый способ решить эту задачу.

После этой подсказки я сделал именно так - угадал и проверил. Ответ симпатичный, но вполне ожидаемый. По крайней мере, я стал с ходу проверять именно его. Во-первых, из-за узнаваемости выражения $ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2$. А во-вторых, из-за того, что сообразил, откуда при этом ответе получается слагаемое 1 в правой части.

[ins-]

Solving problems using software can be very useful, but it is a little like playing chess using chess program.

[nnosipov]

Edward_Tur в сообщении #808146 писал(а):

Замена $x=\sqrt[14]{10}t$ приводит к уравнению $T_7(t/2)=\frac{7}{2\sqrt{10}}$ с многочленом Чебышева.

А это уравнение решается в радикалах: см. А. Г. Хованский "Полиномы Чебышёва и их обращения" (Математическое просвещение, вып. 17, 2013).

[levietbao]

arqady, please post your solution !

[arqady]

levietbao в сообщении #829140 писал(а):

arqady, please post your solution !

Разложите на множители $(a+b)^7-a^7-b^7$.