2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение28.12.2013, 07:34 
Аватара пользователя
Пусть имеется функция :
$$ f(x)=\frac {a_{11}x^2 + b_{11}x+c_{11}} {a_{12}x^2 + b_{12}x+c_{12}} $$
Решением какого дифференциального уравнения она может являться?
Посмотрел справочники по д.у.,не нашёл...

 
 
 
 Re: Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение28.12.2013, 07:49 
Аватара пользователя
Ну кроме тривиального случая $y'=f'(x)$ приходит на ум $y'=g(x) y^2$, где $g(x)$ — отношение двух полиномов, которое может в частном случае имет простой вид.

 
 
 
 Re: Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение28.12.2013, 07:55 
Аватара пользователя
gris в сообщении #807076 писал(а):
Ну кроме тривиального случая $y'=f'(x)$ приходит на ум $y'=g(x) y^2$, где $g(x)$ — отношение двух полиномов, которое может в частном случае имет простой вид.

С тривиальным случаем понятно,хотелось бы иметь такое д.у.где не было бы индивидуальных функций ad hoc ..Надеюсь,я выразил свою мысль понятно ?

 
 
 
 Re: Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение28.12.2013, 08:24 
Аватара пользователя
Понятно, но при попытке сформулировать её строго она исчезнет.
Для одной функции тут слишком много свободы; может, укажете хотя бы одномерное семейство функций, которые надо покрыть диффуром?

-- менее минуты назад --

А то сейчас у Вас там шесть констант ad hoc, с конкретными значениями. Откуда они должны взяться, если не из условия?

 
 
 
 Re: Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение31.12.2013, 08:42 
Аватара пользователя
Ну а если попробовать в таком духе (разберу на простом примере):

Возьмем семейство функций $y = C_1 x + C_2$, и попытаемся найти к нему дифур. Преобразуем уравнение так, чтобы в правой части стояло, скажем, $C_2$, а все остальные члены - в левой. Получается $y - C_1 x = C_2$. Дифференцируем это всё по $x$: $y' - C_1 = 0$. Теперь преобразуем полученное уравнение так, чтобы $C_1$ стояло в правой части, а все остальное в левой: $y' = C_1$. Дифференцируем снова, и получаем $y'' = 0$. Легуо убедиться, что это оно и есть, то что нам надо.

Теперь, значит, мы берем семейство функций $y = \frac{a_{11} x^2 + b_{11} x + c_{11}}{a_{12} x^2 + b_{12} x + c_{12}}$. Преобразуем его к виду, скажем, $y(a_{12} x^2 + b_{12} x + c_{12}) - a_{11} x^2 - b_{11} x = c_{11}$. Дифференцируем. Ну и таким же образом убиваем параметры один за другим. Что-нибудь да получится...

 
 
 
 Re: Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение31.12.2013, 11:12 
INGELRII в сообщении #808121 писал(а):
Ну а если попробовать в таком духе (разберу на простом примере):

Написал процедуру, которая это делает. При разном порядке исключения параметров получаются разные выражения, однако вот этот множитель всегда присутствует:
$$
40 \left(y^{(3)}\right)^3+3 \left(6 y^{(5)} \left(y''\right)^2+5 \left(y^{(4)}\right)^2 y'\right)-12 y^{(3)} \left(y^{(5)} y'+5 y^{(4)}
   y''\right)=0.
$$
Исходная дробь ему удовлетворяет.
Для сравнения $y(x)=\frac{a_1 x+b_1}{a_2x +b_2}$ дает $2 y^{(3)} y'-3 \left(y''\right)^2=0$. Это похоже на производную Шварца, http://ru.wikipedia.org/wiki/Инвариант_Шварца, что и неудивительно.

 
 
 
 Re: Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение31.12.2013, 12:54 
Аватара пользователя
Как у Вас уравнение пятого порядка даёт общее решение с шестью константами?

-- менее минуты назад --

А нет, понял. Их же не шесть, на самом-то деле.

 
 
 
 Re: Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение31.12.2013, 20:02 
Аватара пользователя
Изячная метода. Не удержался и посчитал для $y = \frac{{a_1 x + b_1 }}{{a_2 x + b_2 }}$. Попутно, кстати, условия невырожденности $a_2 \left| {\begin{array}{*{20}c}   {a_1 } & {b_1 }  \\   {a_2 } & {b_2 }  \\ \end{array} } \right| \ne 0$ вылазиют.

 
 
 
 Re: Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение01.01.2014, 01:05 
Аватара пользователя
Да ладно, это годится для любой комбинации функций с любым количеством запиханных куда угодно констант.

 
 
 
 Re: Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение01.01.2014, 09:36 
Аватара пользователя
Главное, чтобы константы поддавались выражению через элементарные функции. Ну, или через хоть какие-нибудь. Но для дробно-рациональных функций любой степени все должно выражаться без проблем.

 
 
 
 Re: Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение01.01.2014, 12:14 
Аватара пользователя
Главное, чтобы хоть как-то выражалась. Берём функцию за первую попавшуюся константу и относительно ея разрешаем. Потом удар дифференцирующего топора и константа ампутирована. Повторить процедуру до полной ампутации всех и свяческих констант. Пвеквасно ваботает.

PSP
Я примерно догадываюсь, ради чего это делается. Так вот - ничего, что они группу не образуют?

 
 
 
 Re: Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение01.01.2014, 14:54 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #808306 писал(а):
Потом удар дифференцирующего топора и константа ампутирована.

Цитата:
...
- Я сказал "левой"!
- Тюк.
- Я сказал "ноги"!
- Тюк.

 
 
 
 Re: Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение04.01.2014, 10:58 
Не могу доказать, но, кажется, $y=\frac{a_0+\dots+a_n x^n}{b_0+\dots+b_n x^n}$ является решением уравнения $$\begin{vmatrix}
   y^{(n+1)} & (n+1)y^{(n)} & \cdots & (n+1)y' \\
   y^{(n+2)} & (n+2)y^{(n+1)} & \cdots & \frac{(n+1)(n+2)}{2}y'' \\
   \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
   y^{(2n+1)} & (2n+1)y^{(2n)} & \cdots & C^n_{2n+1}y^{(n+1)}
  \end{vmatrix}=0$$

 
 
 
 Re: Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение18.01.2014, 09:23 
А каков общий вид коэффициента на месте $(i,j)$?

 
 
 
 Re: Найти д.у. для заданной функции.
Сообщение20.01.2014, 08:09 
Если это про моё уравнение, то $C^j_{n+i+1}y^{(n+1+i-j)}$, где $i,j=0,\dots,n$.

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group