Неравенство Бесселя

[brat2]

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться с функциональным анализом:

нужно доказать, что равенство в неравенстве Бесселя достигается только тогда, когда $x$ лежит в замыкании линейной оболочки $e_n$.

У нас в лекциях было похожее, и там вначале замечали, что для любого конечного $N вектор $x - \sum\limits_{n=1}^{N}(x,e_n)e_n$ перпендикулярен любому из $e_n (n=1,...N)$. Из этого следует, что он - проекция $x$ на линейную оболочку $e_n$. А из этого следует, что $||\sum\limits_{n=1}^{N}(x,e_n)e_n$|| \leqslant ||x||
Вот последнее следствие уже не получается понять - я понимаю, что если $\hat{x}$ - проекция $x$ на подпространство $E_0$, то $||x - \hat{x}|| \leqslant ||x||$, так как $\hat{x}$ - ближайший, а $0$ входит в подпространство. Но почему получается, что $||\hat{x}|| \leqslant ||x||$?

[Oleg Zubelevich]

$\|x-\sum(x,e_n)e_n\|^2=\|x\|^2-\sum|(x,e_n)|^2$
$\|\sum(x,e_n)e_n\|^2=?$

[AGu]

brat2 в сообщении #807668 писал(а):

если $\hat{x}$ - проекция $x$ на подпространство $E_0$, то $||x - \hat{x}|| \leqslant ||x||$ [...] Но почему получается, что $||\hat{x}|| \leqslant ||x||$?

Подсказка: $\|x\|^2=\|(x-\hat x)+\hat x\|^2=\cdots$

[svv]

$x=\hat x+\sum\limits_{n=1}^{N}(x,e_n)e_n$
$(\hat x, e_n)=0, n=1..N$
$(x, x)=?$

[ewert]

brat2 в сообщении #807668 писал(а):

Вот последнее следствие уже не получается понять - я понимаю, что если $\hat{x}$ - проекция $x$ на подпространство $E_0$, то $||x - \hat{x}|| \leqslant ||x||$, так как $\hat{x}$ - ближайший, а $0$ входит в подпространство. Но почему получается, что $||\hat{x}|| \leqslant ||x||$?

По теореме Пифагора. Проекция -- один катет (по отношению к исходному вектору), разность между нею и исходным -- другой. Это просто по определению проекции.

(и, если что, -- теорема Пифагора есть формальное следствие аксиом скалярного произведения)

[brat2]

Oleg Zubelevich в сообщении #807680 писал(а):

$\|x-\sum(x,e_n)e_n\|^2=\|x\|^2-\sum|(x,e_n)|^2$
$\|\sum(x,e_n)e_n\|^2=?$

по-моему она равняется как раз $\sum|(x,e_n)|^2$, да? то есть

$\|x-\sum(x,e_n)e_n\|^2=\|x\|^2-\|\sum(x,e_n)e_n\|^2$

но о чём это говорит, что норма разности в квадрате равна разности квадратов норм?

(Оффтоп)

(простите, после всей этой подготовки туго соображается, да и вообще эту тему, базисов и проекций, хуже всего понял...)

[Oleg Zubelevich]

brat2 в сообщении #807758 писал(а):

по-моему она равняется как раз $\sum|(x,e_n)|^2$, да? то есть

$\|x-\sum(x,e_n)e_n\|^2=\|x\|^2-\|\sum(x,e_n)e_n\|^2$

все верно, и эти формулы -- ответ на все ваши вопросы

[ewert]

brat2 в сообщении #807758 писал(а):

да и вообще эту тему, базисов и проекций, хуже всего понял...)

А напрасно, кстати. Она геометрически -- очень прозрачна. Всего-то и надобно -- перевести очевидные геометрические соображения на абстрактный язык.

[brat2]

Oleg Zubelevich в сообщении #807781 писал(а):

brat2 в сообщении #807758 писал(а):

по-моему она равняется как раз $\sum|(x,e_n)|^2$, да? то есть

$\|x-\sum(x,e_n)e_n\|^2=\|x\|^2-\|\sum(x,e_n)e_n\|^2$

все верно, и эти формулы -- ответ на все ваши вопросы

а, точно,
$\|\sum(x,e_n)e_n\|^2=\|x\|^2-\|x-\sum(x,e_n)e_n\|^2$, и поэтому
$\|\sum(x,e_n)e_n\|^2 \leqslant\ |x\|^2$, а равенство достигается только при $x = \sum(x,e_n)e_n$
спасибо за помощь!
и хотел последнее спросить, означает ли непосредственно
$x = \sum(x,e_n)e_n$,
что $x$ принадлежит линейной оболочке $e_n$, или это нужно ещё доказывать?

[ewert]

brat2 в сообщении #807795 писал(а):

что $x$ принадлежит линейной оболочке $e_n$, или это нужно ещё доказывать?

Не надо ничего доказывать Надо лишь чуток подумать Но не хотите -- как хотите.

[brat2]

да, немного подумал, тут ведь ровно это и написано
нет, хочу как раз разобраться, просто трудно (и то, что кажется очевидным, уже не уверен в нем, это видимо так, пока какой-то цельной картины не сложится)..

[brat2]

Простите ещё раз, я кажется неправильно понял условие задачи.
Нужно наоборот доказать, что если $e_n$ - не ортонормированный базис, то равенство Парсеваля может не достигаться
не подскажете, можно ли использовать здесь то же, предложенное Oleg Zubelevich рассуждение, или уже нужно другое?
просто, наск. я понимаю, не получится, изложив это,

brat2 в сообщении #807795 писал(а):

$\|\sum(x,e_n)e_n\|^2 \leqslant\ \|x\|^2$, а равенство достигается только при $x = \sum(x,e_n)e_n$

написать "если $x$ не лежит в линейной оболочке $e_n$, то $x \neq \sum(x,e_n)e_n$", потому что нам это и нужно доказать, да?

UPD
или можно просто написать - если $x$ не базис, то не всякий вектор $x = \sum(x,e_n)e_n$ и второй член разности не равен нулю?

[ewert]

brat2 в сообщении #807932 писал(а):

Нужно наоборот доказать, что если $e_n$ - не ортонормированный базис, то равенство Парсеваля может не достигаться

Это тривиально -- если базис не ортонормирован, то с какой стати ему выполняться-то? (даже в конечномерном случае)

Более-менее содержателен другой вопрос: если это ортонормированный, но не базис (т.е. если эта система не полная), то равенство не выполняется (вообще говоря). Но и это банально: возьмите сперва базис, а потом выкиньте из него какой-нибудь элемент, коэффициент при котором (для данной функции) не равен нулю -- равенство и нарушится.

[svv]

brat2 в сообщении #807932 писал(а):

Нужно наоборот доказать, что если $e_n$ - не ортонормированный базис, то равенство Парсеваля может не достигаться

Оно в этом случае может не только «не достигаться», но и «перевыполняться», когда знак уже в другую сторону. Возьмите некоторые базисные векторы в два раза больше.

[brat2]

svv в сообщении #807960 писал(а):

brat2 в сообщении #807932 писал(а):

Нужно наоборот доказать, что если $e_n$ - не ортонормированный базис, то равенство Парсеваля может не достигаться

Оно в этом случае может не только «не достигаться», но и «перевыполняться», когда знак уже в другую сторону. Возьмите некоторые базисные векторы в два раза больше.

я имел в виду просто "не базис", конечно

-- 30.12.2013, 16:05 --

ewert в сообщении #807959 писал(а):

Более-менее содержателен другой вопрос: если это ортонормированный, но не базис (т.е. если эта система не полная), то равенство не выполняется (вообще говоря).

да, именно это у нас требуется, немного двусмысленно я правда написал
я решил использовать предложенное Oleg Zubelevich равенство, а далее написать, что поскольку это не базис, существует вектор, не разлагающийся в ряд по скал. произв. с $e_n$, и в равенстве $\|\sum(x,e_n)e_n\|^2=\|x\|^2-\|x-\sum(x,e_n)e_n\|^2$ второй член не будет равен нулю, т.е. для таких векторов будет строгое нер-во.
это ведь не "доказательство по кругу"?
у нас просто было определение базиса, что это ортонормированная система, по которой любой вектор разлагается в ряд. значит, если не базис, существует вектор, не разлагающийся в такой ряд, и для него будет неравенство. я тут ничего не упустил?

хотя как Вы предложили конечно гораздо удобнее