Similar to Droz-Farny's theorem

[ins-]

Let $ABC$ is an acute-angled triangle with otrhocenter $H$. $l$ and $m$ are lines through $H$, perpendicular to each other. $l$ intersects lines $AC$ and $BC$ at the points $A'$ and $B'$. $m$ interesects lines $AC$ and $BC$ at the points $A''$ and $B''$. Prove that the middles of $AB$, $A'B'$, $A''B''$ lie on a line.

[nnosipov]

ins- в сообщении #807614 писал(а):

Prove that the middles of $AB$, $A'B'$, $A''B''$ lie on a line.

Действительно, эти точки лежат на одной прямой. Вот здесь topic75858.html я предложил простой механический способ проверять подобные геометрические утверждения. В данном случае достаточно набрать следующее:

> A:=z[1]:
> B:=z[2]:
> C:=z[3]:
> H:=orthocenter(A,B,C):
> A1:=intersection(H,z[4],A,A-C):
> B1:=intersection(H,z[4],B,B-C):
> A2:=intersection(H,I*z[4],A,A-C):
> B2:=intersection(H,I*z[4],B,B-C):
> Collinear((A+B)/2-(A1+B1)/2,(A+B)/2-(A2+B2)/2):

[ins-]

I would like to know if it is a new statement and to see a (synthetic) proof of it. I checked the statement using Geogebra. It was very interesting for me to know - there is a way the computer to prove a geometry theorem.

[nnosipov]

Ну, новое или нет --- не знаю, а доказательство я только что привёл. Сочинение этого доказательства заняло примерно минуту. На мой взгляд, картинка, нарисованная в какой-нибудь Geogebra, тоже могла бы служить вполне убедительным доказательством.

[ins-]

Geogebra is a tool that can be useful to verify some assumptions but it doesn't give clear and logical proofs to them.

[_Ivana]

Ваша задача легко переводится в алгебраическую введением системы координат (например, с центром в $H$ и осями по прямым $l,m$), записью связей на координаты вершин через перпендикулярность высот (равенство нулю соответствующих скалярных произведений), выражение координат пересечения прямых, центров отрезков как среднее арифметическое координат их концов и в итоге выходом на доказательство того что надо. Можно аккуратно ручками на бумаге все расписать и решить с помощью алгебраических преобразований. Будет полностью clear and logical proof. Просто nnosipov реализовал, насколько я понимаю, компьютерную программу, которая проделывает все эти алгебраические выкладки.

[ins-]

Thank you for the valuable notes. I hope you like the problem. I suppose it can be found at least two or three different proofs.

[_Ivana]

Посмотрите, например, эту задачу. Одна из многих того же плана, что и у вас, тоже на доказательство, с приведенным алгебраическим решением, а также чисто геометрическим доказательством автора. Методов решения/ доказательства может быть много. А волшебная программа nnosipov щелкает их за секунды.

[ins-]

You are correct - the software saves time if you need solution without any additional constraints as soon as possible. But for some classes of problems it can be hard to apply it. Below is an example.

It is given triangle ABC with points M, N, P on its sides (internally). U, V, W are intersection points of AN and CM, BP and AN, CM and BP. Triangle UVW is equaliteral. If AM=BN=CP - prove that ABC is equilateral triangle.

[nnosipov]

ins- в сообщении #807673 писал(а):

It is given triangle ABC with points M, N, P on its sides (internally).

Уточните: какие точки на каких сторонах лежат?

[ins-]

M on AB, N on BC, P on CA.

[nnosipov]

ins- в сообщении #807692 писал(а):

M on AB, N on BC, P on CA.

Спасибо. Попробуем доказать.

-- Вс дек 29, 2013 23:53:19 --

ins- в сообщении #807673 писал(а):

It is given triangle ABC with points M, N, P on its sides (internally). U, V, W are intersection points of AN and CM, BP and AN, CM and BP. Triangle UVW is equaliteral. If AM=BN=CP - prove that ABC is equilateral triangle.

А это утверждение верное?

[ins-]

Yes it is correct.