Кривая второго порядка

[fedd]

Ms-dos4 в сообщении #804509 писал(а):

fedd
Здесь вроде бы мнимый эллипс (если я не ошибся при беглых подсчётах).

Да, именно это я и хотел сказать. Разве мнимые эллипсы задают студентам? Поэтому я предположил, что исходное выражение иное.
Причем тут Вольфрам, непонятно. Явное выражение получается в два действия без особого труда. Автору лучше еще раз проверить задание.

[Otta]

fedd в сообщении #804514 писал(а):

Да, именно это я и хотел сказать. Разве мнимые эллипсы задают студентам?

Конечно, чем они хуже, чем все остальное.

[Ms-dos4]

fedd
Ладно бы вы сказали, "разве их дают школьникам?". А студентам можно давать всё.

[fedd]

У меня интуиция на опечатки. Сколько раз предполагал, - всегда оказывался правым. И на этот раз уверен: где-то в знаке или цифре упущено. Подождем, когда автор темы проснется.

[VAL]

fedd в сообщении #804519 писал(а):

У меня интуиция на опечатки. Сколько раз предполагал, - всегда оказывался правым. И на этот раз уверен: где-то в знаке или цифре упущено. Подождем, когда автор темы проснется.

Когда я писал генератор подобных заданий, специально предусматривал ненулевые вероятности для всех девяти возможных типов кривых второго порядка.
(Правда, для мнимый эллипс, наряду гиперболой и обычном эллипсом будут появляться достаточно часто и при тупом генерировании коэффициентов.)

[Limit79]

В оригинале:

[fedd]

Это эллиптический параболоид. Если возьмем производные и приравняем нулю

$18x-4y-10=0 $
$-4x+12y-6=0 $

то решением этой системы будет точка экстремума (минимума):

$ x=\frac{36}{50}\, ; \, y=\frac{37}{50} $

$ z_{min}=\frac{959}{50} $

То есть вся фигура расположена над плоскостью XOY. Пересечения этой плоскости с фигурой нет и, следовательно, эллипс мнимый.
Сразу подозрение на знак перед свободным членом. Если принять его минус двадцать пять, то будет все в норме:

$ z_{min}=-\frac{1541}{50} $

и эллипс в сечении реальный.

Осталось теперь уже авторам методички (или задачника) проверить как следует свое детище.

[arseniiv]

(Оффтоп)

А если не принимать его минус двадцать пять, то задание в корректности не утрачивает.

[fedd]

Согласен. Но такое я встречал только в МГУ и МАИ. Уж там-то такие кардиобалеты задают!

[Otta]

fedd

(Оффтоп)

fedd в сообщении #804873 писал(а):

Это эллиптический параболоид.

Теперь это уже параболоид. С какого перепуга это параболоид?

Кардиобалет - годный термин. Надо запомнить.

[fedd]

Я это имел в виду, когда писал последний пост
$z=9x^2-4xy+6y^2-10x-6y+25$
Это эллиптический параболоид. Пугаться мне нечего и некого.

[Otta]

Оффтоп, потому что давно оффтоп.

(Оффтоп)

Вы уж пишите, чего имеете в виду, пжалста.
Это - да, эллиптический параболоид. Вы хотели выяснить, при каком значении свободного члена происходит бифуркация? При $5,82$. Я давно посчитала, чисто из любопытства. Можете проверить, порисовав в пакетах, если интересно. Впрочем, Вашим способом он выходит такой же.

Припахивать анализ в такой задаче - средство бронебойное, конечно, но дюже растратное. С помощью инвариантов все намного проще.

[Limit79]

С методом Лагранжа так и не смог разобраться из-за присутствия коэффициентов при $x$ и при $y$.

Попробовал сделать так:

Перенес начало координат в центр данной кривой $\left ( \frac{36}{50},\frac{37}{50} \left ) $

Получил уравнение:

$$9x'^2-4x'y'+6y'^2 + \frac{959}{50} = 0$$

А вот тут попробовал метод Лагранжа, и получил:

$$\left ( 3x' - \frac{2}{3} y' \right )^2 + \frac{50}{9} y'^2+ \frac{959}{50} = 0$$

Далее заменяю: $x''=3x' - \frac{2}{3} y'$, $y''=y'$ и получаю:

$$( x'')^2 + \frac{50}{9} \cdot (y'')^2+ \frac{959}{50} = 0$$

Далее:

$$\frac{(x'')^2}{ \left (\sqrt{\frac{959}{50}} \right )^2} + \frac{(y'')^2}{ \left (\sqrt{\frac{8631}{2500}} \right )^2} = -1$$

А вот это - как раз каноническое уравнение мнимого эллипса.

Подскажите, пожалуйста, верно ли?

[Otta]

Да, верно. (Не вдаваясь в арифметику.) Правда, это аффинная классификация, не сохраняющая длин "осей" - мнимых или реальных, - и углов между ними. Однако же тип кривой она сохраняет.

[Limit79]

Otta
Арифметику проверять не надо, разумеется, главное -- логика.

Большое Вам спасибо!