Верите ли вы в путешествие во времени?

[Munin]

rockclimber в сообщении #806299 писал(а):

Может ли так быть, что мы в конце концов пристреляемся и шар попадет сам в себя так, что чобьет себя с траектории? Что может помешать? Вот это интересует.

Судя по тому, что изложено в книге Торна, при попытках пристреляться - шар будет всё время попадать сам в себя так, что не будет сбивать себя с траектории. Если вы будете менять прицельный параметр - шар будет выскакивать из машины времени тоже с меняющимся прицельным параметром. Повлиять вы на это никак не сможете :-)

Но это классический анализ, который мне не нравится банально из-за неполноты. Имхо, гораздо проще всё рассмотреть с точки зрения вариационной задачи и квантового (фейнмановского) интеграла по траекториям, который позволяет проделывать элементарные рассуждения "на пальцах", без расчётов.

[Munin]

Вкратце идея.

Возьмём пространство-время с машиной времени. Вырежем из него какой-то (достаточно большой для проведения опыта) промежуток времени. Теперь на получившейся части можно ставить вариационную задачу на принцип наименьшего действия:

- заданы начальные условия на границе куска пространства-времени, отвечающей начальному моменту;
- заданы конечные условия на границе куска пространства-времени, отвечающей конечному моменту;
- заданы условия на пространственных границах куска пространства-времени, или на пространственной бесконечности (впрочем, за пределами горизонтов событий и частиц нас условия не волнуют);
- варьируется всё, что находится между этими границами, и на заданном пространстве-времени. (Варьировать само пространство-время тоже можно, но как мы увидим, необязательно.) Для каждой пространственно-временной истории $q=q(t)$ вычисляется действие $S[q].$ История, удовлетворяющая

$$\delta S[q]=0,$$
будет решением задачи.

Пока неочевидно, что если начальные условия есть начальные условия парадокса (например, приготовленный к запуску шар), то решение существует. Мы можем поступить так: взять начальные условия, в которых парадокса не возникает, но близкие к "парадоксальным". Вычислить для этой ситуации "желаемые" конечные условия. И начать медленно сдвигать условия от "непарадоксальных" к "парадоксальным", получая таким образом и решение для "парадоксальных" условий - то есть, разрешающее парадокс мирным образом (каким угодно, нас это не волнует).

Здесь всё ещё нет уверенности в том, что такая процедура возможна. Может быть, мы наткнёмся на какую-то точку разрыва. Но здесь мы переходим от классической физики (в формулировке принципа наименьшего действия) к квантовой механике (в формулировке интеграла по траекториям). А именно, на самом деле физическая система движется не по единственной траектории, удовлетворяющей вариационному принципу в точности, а в том числе и по всем близлежащим траекториям, "обнюхивает" их (по выражению Фейнмана), и результирующая история есть результат интерференции движения по всем этим траекториям.

$$A[q]=\int e^{-iS[q]/\hbar}\,\mathcal{D}q\qquad P[q]=\bigl|A[q]\bigr|^2$$

Поскольку экстремум действия $\delta S[q]=0$ означает экстремум фазы, то наибольший вклад $\arg\max P[q]$ дают именно траектории, близкие к экстремальным, а остальные дают быстроосциллирующие, и поэтому сокращающиеся вклады. (Как отсюда перейти к стандартной квантовой механике Шрёдингера - см. Фейнман, Хибс.) Итак, что будет происходить при приближении к "парадоксальной" истории? Поскольку она не может произойти, то её траектория даст вклад с нулевой амплитудой. Это может возникнуть как минимум интерференции. Но мы знаем, что при интерференции, кроме минимумов, есть максимумы. Вот они и начнут играть роль - ближашие интерференционные максимумы к "парадоксальной" траектории. Происходить "на самом деле" будет такая история, которая будет отвечать наибольшему максимуму (если он один, или квантовой суперпозиции, если их несколько сравнимых по величине). Скорей всего, это будет максимум, крайне близкий к "парадоксальной" траектории, и минимально отличающийся от неё, на такую деталь, которой достаточно, чтобы избежать парадокса.

Итого, для любых "парадоксальных" начальных условий всегда возможно такое развитие событий, при котором парадокса не возникает. Замечание: если ставить не вариационную задачу, а задачу Коши, то возможно, итоговый результат не будет близок к тому, как если бы мы начинали с "почти парадоксальных" начальных условий, и медленно их сдвигали к "парадоксальным". Но главное, он будет существовать.

[Denis Russkih]

(Оффтоп)

Да-а... Если это рассуждение "на пальцах", то на чём тогда рассуждаю я, когда пытаюсь говорить о физике?.. :) На ластах, походу.

И всё-таки я не совсем понял, почему бы шару не послать самому себе радиосигнал, как только он вынырнет из дыры?.. Тогда и сталкиваться не обязательно. Пусть шар устроен так, что врубает экстренное торможение, если получит соответствующую команду по радио. Как только он выныривает в прошлом, он посылает самому себе эту команду, и... Что происходит? Налетает электромагнитная буря и глушит передачу? :) Случайный рой космических частиц разрушает передатчик? На что пойдёт Вселенная, чтобы избежать парадокса?

P.S. Чем-то напоминает гипотезу квантового бессмертия, кстати. :) Только тут какое-то "беспарадоксие". По сути выглядит как то же квантовое бессмертие, только распространённое на всю Вселенную. :) Почему-то считается, что Вселенная не может тупо исчезнуть в результате парадокса, как будто её и не было. Нет, она обязательно выживет, пройдёт по краешку!.. Занятно.

[Munin]

Я адресовался другим читателям темы, а если учитывать уровень Denis Russkih, то нужны некоторые пояснения.

Принцип наименьшего действия - это эквивалентный способ представления законов физики, удобный разными теоретическими преимуществами. Например, можно рассматривать механику как теорию, основанную на законах Ньютона, а можно - как основанную на принципе наименьшего действия для механики. В случае механики, действие будет величиной, вычисляемой из кинетической энергии $T$ и потенциальной энергии $U$ механической системы:

$$S=\int\limits_{t_0}^{t_1}(T-U)dt\equiv\int\limits_{t_0}^{t_1}L\,dt\qquad\text{где }L=T-U$$

- функция Лагранжа (лагранжиан) механической системы. Поверьте, что в итоге будут получаться те же самые решения механических задач, что и при использовании законов Ньютона, - или проверьте, почитав учебники по теоретической механике (Ландау, Лифшиц "Механика", например), или замечательную главу 19 в "Фейнмановских лекциях по физике" том 6.

Аналогично, электродинамику можно рассматривать как основанную на уравнениях Максвелла, а можно - как основанную на том же принципе наименьшего действия, но только в качестве лагранжиана используется лагранжиан электродинамики. Гравитация (ОТО) может рассматриваться и как уравнение Эйнштейна, и как действие Гильберта. Квантовые теории - тоже. Чем более современны теории, тем больше они изначально излагаются в виде лагранжиана для принципа наименьшего действия, а остальные формы представления этих теорий оказываются вторичны. Например, Стандартная Модель частиц и взаимодействий - записана в виде лагранжиана СМ, но полностью в виде уравнений движения её даже никто не выписывает - это чисто техническая задача, и не приносящая никакой пользы в расчётах.

При этом, принцип наименьшего действия даёт необычный взгляд на физику и причинно-следственные связи. В школе приучают к использованию законов физики в смысле задачи Коши:

- заданы начальные условия в момент времени $t_0$;
- известны законы для перехода от текущего состояния к следующему моменту времени, в виде дифференциальных уравнений по времени:

$$\dfrac{dq(t)}{dt}=F(q(t)),$$
где $F(q(t))$ - некая функция, вычисляемая по значению $q(t),$ описывающему состояние системы в текущий момент времени $t.$

То есть, законы физики в такой форме "не имеют памяти", а всё, что необходимо знать из прошлого, содержится в информации, описывающей состояние. Например, в механике необходимо знать не только положение тела, но и его скорость, и тогда для следующего момента времени можно будет посчитать изменение положения (перемещение) и изменение скорости (ускорение). В противоположность такому взгляду "из настоящего в будущее", задача на принцип наименьшего действия считает, что мы знаем и начальные условия, и конечный результат, а что именно происходило между ними - следствие этих заданных условий:

- заданы начальные условия в момент времени $t_0$;
- заданы конечные условия в момент времени $t_1$;
- известен закон для вычисления действия (это термин, означающий специальную физическую величину, скаляр, имеющую размерность ``энергия $\times$ время''), причём этот закон использует целиком всю траекторию физической системы от начального к конечному моменту времени - это называется функционалом (функцией от функции):

$$S=S[q(t)]$$
- и обозначается квадратными скобками;
- для нахождения истинной траектории из всех таких, которые можно вообразить, накладывается условие минимальности действия (отсюда "принцип наименьшего действия"):

$$S[q_{\text{истинная}}(t)]=\min_{q(t)}S[q(t)],$$
и это условие анализируется с точки зрения вариационного исчисления (аналогичного обычному матанализу, но для функционалов). Подобно тому, как минимум гладкой функции - это точка, в которой её производная обращается в нуль, и дифференциал, соответственно, тоже обращается в нуль ($f'(x)=0,\quad df=0$), для минимальности функционала должна обратиться в нуль вариационная производная, и вариация:

$$\dfrac{\delta S[q(t)]}{\delta q(t)}=0,\qquad\delta S[q(t)]=0$$

Таким образом, "причинами" становятся и настоящее и будущее (или, прошлое и настоящее) по краям интервала времени, а разыскивается при решении задачи - история физической системы как целое, внутри этого интервала. Внутри этой истории нет надобности "сохранять память в текущих переменных", поскольку всегда можно "посмотреть в записях о прошлом", но зато в качестве расплаты - любое изменение одной части истории влечёт изменение других частей истории, и не только со стороны более ранних моментов на более поздние, но и наоборот. В такой картине, надо чётко разделять, и понимать разницу, между "вычислительными причинно-следственными связями", и "историческими причинно-следственными связями", поскольку то, что из чего мы вычисляем, не связано с тем, что в результате чего произошло. По сути, "исторические причинно-следственные связи" никак не заложены в картину принципа наименьшего действия. (И получается, раз он эквивалентен другим законам физики, что и в них тоже такие связи не заложены.) И раз он позволяет от этих "причинно-следственных связей" отвлечься, то он как раз наиболее удобен для рассуждений о "парадоксах" этих связей.

[Denis Russkih]

Munin

Ого! Спасибо за такие развёрнутые пояснения. :) Добавил Ваш пост в "Избранное". Надеюсь, когда-нибудь вернусь и прочту с настоящим пониманием. :)

Сейчас перечитал несколько раз, но всё равно, боюсь, уловил идею только в общих чертах.

Munin в сообщении #807101 писал(а):

Таким образом, "причинами" становятся и настоящее и будущее (или, прошлое и настоящее) по краям интервала времени, а разыскивается при решении задачи - история физической системы как целое, внутри этого интервала.

Иными словами, мы берём два разных состояния системы, а затем смотрим, возможен ли переход из одного в другое?.. (И если такой переход возможен, значит, задача имеет решение.) Причём не играет роли, какое из состояний соответствует прошлому, а какое — будущему?

То есть, это как две точки на карте, и решением будет оптимальный путь между этими точками? (Если же путь невозможно проложить, значит, и решения нет. Но в нашем случае оказывается, что решение есть.)

И фишка в том, что при таком подходе нет разницы, стартуем мы из точки А или из точки Б, или просто смотрим на них со стороны. Я правильно понял?

(Оффтоп)

("Понял" — это, конечно, не очень подходящее слово. К сожалению, в русском языке нет краткого обозначения для "попытался кое-как запихать выпавший моск обратно".)

[Munin]

Denis Russkih в сообщении #807136 писал(а):

Иными словами, мы берём два разных состояния системы, а затем смотрим, возможен ли переход из одного в другое?..

Нет, мы берём два состояния, и ищем, как именно возможен переход из одного состояния в другое. Пожалуй, вам лучше всего срочно открыть ФЛФ-6 и прочитать главу 19. С Фейнманом мне всё равно не состязаться в ясности объяснений.

Denis Russkih в сообщении #807136 писал(а):

Причём не играет роли, какое из состояний соответствует прошлому, а какое — будущему?

Нет, конечно, это играет роль. Одно из них "назначается" начальным, а другое - конечным. Но законы физики обычно позволяют решить задачу и так, и наоборот (обратимость законов физики во времени).

Denis Russkih в сообщении #807136 писал(а):

То есть, это как две точки на карте, и решением будет оптимальный путь между этими точками?

Да, похоже на то. Более того, именно такой взгляд на задачу принципа наименьшего действия - наиболее современный и мощный. Возник он в начале 20 века, когда в ОТО на центральное место вышли геодезические линии - как раз оптимальные пути на карте пространства-времени. Решением задачи свободного (инерциального) механического движения точки в ОТО будет именно такой оптимальный путь. В самом упрощённом виде, можно представить себе ньютоновское пространство-время: между точками $(x_0,t_0)$ и $(x_1,t_1)$ оптимальный путь по "плоской равнине" пролегает по прямой линии, и именно такая прямая линия даёт свободное движение по инерции по 1 закону Ньютона: равномерное прямолинейное движение. ОТО обобщает это решение на случай любых гравитационных полей, а современная физика - и на случай всех других систем и взаимодействий.

Denis Russkih в сообщении #807136 писал(а):

И фишка в том, что при таком подходе нет разницы, стартуем мы из точки А или из точки Б, или просто смотрим на них со стороны. Я правильно понял?

Если говорить о том, что нет разницы, как вычислять эту траекторию - то да.

[Munin]

Denis Russkih
И потом сюда: post733200.html#p733200

[Denis Russkih]

Munin в сообщении #807196 писал(а):

Пожалуй, вам лучше всего срочно открыть ФЛФ-6 и прочитать главу 19. С Фейнманом мне всё равно не состязаться в ясности объяснений.

Ваше "срочно" меня заинтриговало, поэтому я вопреки обыкновению не стал откладывать в долгий ящик, а сразу открыл скачанную книжку, заглянул в шестой том и прочёл эту главу. :) Рад, что не поленился, это реально круто. Конечно, я далеко не всё понял (почти ничего не понял), но всё-таки многие вещи стали яснее.

Оказывается, принцип наименьшего действия на квантовом уровне тесно связан с фейнмановскими интегралами по траекториям. (О которых я много раз слышал, но боялся даже узнавать, что это такое.) И они совсем не так страшны, как я предполагал. То есть, явно очень сложная вещь, но не внушают мистического ужаса. Главное, что суть интуитивно понятна. (Похоже, всё дело в чём-то вроде интерференции. У частицы большинство вариантов путей "гасят" друг друга из-за своих различий, а остаются лишь те пути, для которых разность действий минимальна, меньше постоянной Планка. Не знаю, как сказать правильнее.)

Ещё вариационное исчисление очень порадовало. В голове давно бродили смутные вопросы, а что будет, если использовать функцию вместо переменной (ну, как бы сделать такую "функцию функций" и исследовать её). И опаньки — оказывается, это уже давно существующий раздел математики!.. Хорошо быть неучем, каждый день новые открытия! :) А ведь Вы тоже чуть ранее упоминали об этом. Но только начав читать ФЛФ, я по-настоящему врубился, о чём шла речь.

В общем, результативно заглянул, спасибо за наводку. :) Было очень интересно, всю главу запоем прочёл за вечер. Но, к сожалению, как я ни старался вникнуть, начиная с определённого момента все формулы сделались китайской грамотой. (Всякие там "разложить в ряд Тейлора" просто выключают меня.) Нужно будет вернуться, когда я получше освою необходимый математический аппарат. Очень надеюсь, что это когда-нибудь произойдёт. :)

Разумеется, я в очередной раз убедился, что ещё азов не знаю, и пока рановато мне тут думать о временных парадоксах... Но всё равно, не зря посмотрел книжку. Было классно. Прямо-таки перезагрузка мозга. А то я в последнее время почти не кормил его ничем умным.

Munin в сообщении #807224 писал(а):

Denis Russkih
И потом сюда: post733200.html#p733200

Кстати, уже видел этот пост раньше, но теперь стало понятнее, в чём соль. :)

[Alexu007]

Я чёт не понял, когда это "законы физики обратимы во времени"? Разбитая чашка хоть раз у кого самовосстановилась?

[Munin]

Alexu007 в сообщении #807429 писал(а):

Я чёт не понял, когда это "законы физики обратимы во времени"? Разбитая чашка хоть раз у кого самовосстановилась?

Речь идёт о фундаментальных законах. Разбитая чашка - это не фундаментальный закон, а следствие большого количества фундаментальных законов, и частных условий их применения.

[warlock66613]

Alexu007 в сообщении #807429 писал(а):

Я чёт не понял, когда это "законы физики обратимы во времени"? Разбитая чашка хоть раз у кого самовосстановилась?

Видите ли, происходящие процессы определяются двумя факторами: законами и начальным состоянием. В случае с чашкой, мы имеем дело с таким начальным состоянием, которое скрывает обратимость законов, управляющих падением и разбиванием чашки. В принципе, возможно существование "самовосстанавливающейся" чашки, вот только самопроизвольно она не может образоваться (в наших условиях), и создать мы её тоже не можем: для этого нужна бесконечная точность расположения атомов. Но мы можем склеить чашку без клея, сильно прижав части друг к другу, получив назад исходную чашку - в этом процессе и проглядывает та самая обратимость.

[Munin]

(Оффтоп)

Кстати, по поводу 19 главы.

Цитата:

Когда я учился в школе, наш учитель физики, по фамилии Бадер...

Цитата:

Такова связь между принципом наименьшего действия и квантовой механикой. То обстоятельство, что таким способом можно сформулировать квантовую механику, было открыто в 1942 г. учеником того же самого учителя, мистера Бадера, о котором я вам рассказывал.

LOL
Это Фейнман так скромно о себе. Других учеников Бадера в науку не вошло :-) А результат 1942 года принадлежит Фейнману, это его диссертация (PhD thesis) - The Principle of Least Action in Quantum Mechanics. Опубликован в книге Feynman's Thesis. A New Approach to Quantum Theory (ed. Brown, 2005). Пойду почитаю :-)

[Denis Russkih]

Munin в сообщении #807443 писал(а):

И ещё. В главе 19 Фейнман ссылается на предыдущий рассказ о принципе наименьшего времени в оптике. Если заинтересуетесь, то это том 3, глава 26.

Спасибо за указание точного адреса, обязательно посмотрю! Меня эта штука очень впечатлила ещё в юности. (В каком-то фантастическом рассказе вскользь упоминалось, что свет всегда выбирает наиболее быстрый путь, как будто заранее "знает", куда ему суждено попасть. Я даже сначала не поверил, подумал, что присочинил автор. Но оказалось, что это имеет под собой физические основания! Данный факт меня потряс.)

Munin в сообщении #807482 писал(а):

Цитата:

Такова связь между принципом наименьшего действия и квантовой механикой. То обстоятельство, что таким способом можно сформулировать квантовую механику, было открыто в 1942 г. учеником того же самого учителя, мистера Бадера, о котором я вам рассказывал.

LOL
Это Фейнман так скромно о себе. Других учеников Бадера в науку не вошло

Да, мне тоже понравилось. :) Кстати, как раз после этих слов там я окончательно понял, что речь-то идёт о фейнмановских интегралах по траекториям.

(Хотя такое словосочетание, по-моему, ни разу не встречается в тексте... Но сложить два и два не сложно. :))

[Alexu007]

Что такое время с точки зрения физиков?

[Theoristos]

Munin в сообщении #807101 писал(а):

для нахождения истинной траектории из всех таких, которые можно вообразить, накладывается условие минимальности действия (отсюда "принцип наименьшего действия")

Помню, как в школьные годы наломал себе голову, дойдя до потенциала, в котором при фиксации x1,t1, x2,t2 есть не одна минимальная траектория.