Potential again

[Freude]

Спасибо, chiba, за выкладки. Результат очень хороший Это имеет место быть в физике твердого тела, называется Local Density Approximation in DFT.

По поводу формулировки, что термин "1D задача" тут не подходит, пожалуй соглашусь, хотя задача решается все-таки в одном измерении.

[chiba]

Александр Т. писал(а):

Потенциал во всем пространстве имеет вид

$$\varphi(x, y, z) = \frac 1 {4\pi\varepsilon_0} \int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac {q_\text{l}(x')} {\sqrt{(x - x')^2+y^2+z^2}}\, d\!\,x' $$

Из этой формулы видно, что потенциал на линии равен

$$\varphi(x, 0, 0)=\frac 1 {4\pi\varepsilon_0} \int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac {q_\text{l}(x')} {|x - x'|}\, d\!\,x'$$

,
что я и хотел показать.
Таким образом, называть это одномерным случаем вряд ли правомерно. Это название, на мой взгляд, применимо к случаю, про который я писал выше по ветке.

Это то понятно. Здесь записан потенциал вдоль прямой в трехмерном пространстве. Просто я анализировал одномерное пространство. Просто т. Гаусса в этом случае я сразу не нашел, но это похоже просто т. Ньютона-Лейбница. И в одномерном случае также получается нужное выражение.

Александр Т. писал(а):

При этом только не нужно зыбывать, что под этим интегралом стоит всюду (т.е. на всей комплексной плоскости) неаналитическая функция комплексной переменной (т.к. в знаменателе присутствует модуль).

А по-моему функция $\frac 1 {\sqrt {z^*z} }$ является голоморфной на всей комплексной плоскости за исключением точки $z=0$. Или не является? Я же могу разложить ее в ряд Лорана в кольце?

Александр Т. писал(а):

Использовать вычеты для вычисления интегралов по путям на комплексной плоскости можно, лишь если подынтегральная функция является аналитической всюду, кроме изолированных особых точек.

Ну, я считал, что $\frac 1 {\sqrt {z^*z} }$ аналитична везде кроме $z=0$. Если это не так, то действительно возникают проблемы. Надо подумать над аналитичностью.

Похоже действительно не работает.

Александр Т. писал(а):

Вроде бы так.

Спасибо за конструктивную критику.

Freude писал(а):

Спасибо, chiba, за выкладки. Результат очень хороший Это имеет место быть в физике твердого тела, называется Local Density Approximation in DFT.

Не за что. Похоже, что в общем виде действительно ответ не верен. Хотя для случаев, когда функция $\frac {\rho(z)} {|z-a|}$ будет голоморфной, эта формула будет работать.

[Александр Т.]

chiba писал(а):

Александр Т. писал(а):

При этом только не нужно зыбывать, что под этим интегралом стоит всюду (т.е. на всей комплексной плоскости) неаналитическая функция комплексной переменной (т.к. в знаменателе присутствует модуль).

А по-моему функция $\frac 1 {\sqrt {z^*z} }$ является голоморфной на всей комплексной плоскости за исключением точки $z=0$. Или не является? Я же могу разложить ее в ряд Лорана в кольце?

Для функции $|z|^2=z^*z$ не выполняются условия Коши-Римана существования производной (этот пример невыполнения условий Коши-Римана часто приводят в учебниках). Отсюда, вроде бы, следует, что они не выполняются и для любой функции вида $f(|z|)$, где $f(z)$ - аналитическая функция. Производные высших порядков для таких функций, естественно, тоже не существуют. А, т.к. для вычисления коэффициентов в ряде Лорана нужны значения производных, в ряд Лорана эту функцию разложить нельзя.

[chiba]

Александр Т. писал(а):

Для функции $|z|^2=z^*z$ не выполняются условия Коши-Римана существования производной

Согласен.

[MOPO3OB]

Цитата:

Скорее всего будет иметь место экранирование.

Экранирование в линейной системе?
а подробнее?

[Freude]

Цитата:

Экранирование в линейной системе?
а подробнее?

Что значит "линейная"? Я говорил об одномерной системе. Например нанотрубка. В нее инжектировали много электронов, но она имеет и свой периодический потенциал, обусловленный остовом. Наверное потенциал взаимодействия между электронами можно разделить на диэлектрическую проницаемось материала, из которого сделана нанотрубка. Это я подразумеваю под экранированием.

Добавлено спустя 2 минуты 16 секунд:

Решил задачу, которую поставил в этой ветке просто: действительно потенциал трудно вычислить из-за сингулярностей, но поле можно получить всегда (наверное). Вот я и решил задачу для поля.

$$E(x, 0, 0)=\frac 1 {4\pi\varepsilon_0} \int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac {q_\text{l}(x')(x - x')} {|x - x'|^2}\, d\!\,x'$$

,

Добавлено спустя 19 минут 20 секунд:

Буду благодарен, если Вы проверите.
Напоминаю, что дано распределение заряда на линии. Интересует поле на самой линии. Например равномерное распределние на отрезке. В этом случае интересует поле/потенциал как на отрезке, так и на некотором расстоянии от его торцов на линии, которая cодержит этот отрезок.

[Александр Т.]

Freude писал(а):

Решил задачу, которую поставил в этой ветке просто: действительно потенциал трудно вычислить из-за сингулярностей, но поле можно получить всегда (наверное). Вот я и решил задачу для поля.

$$E(x, 0, 0)=\frac 1 {4\pi\varepsilon_0} \int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac {q_\text{l}(x')(x - x')} {|x - x'|^2}\, d\!\,x'$$

,

Буду благодарен, если Вы проверите.
Напоминаю, что дано распределение заряда на линии. Интересует поле на самой линии.

Из формулы для потенциала, которую я уже выписывал

Цитата:

Потенциал во всем пространстве имеет вид

$$\varphi(x, y, z) = \frac 1 {4\pi\varepsilon_0} \int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac {q_\text{l}(x')} {\sqrt{(x - x')^2+y^2+z^2}}\, d\!\,x' $$

Из этой формулы видно, что потенциал на линии равен

$$\varphi(x, 0, 0)=\frac 1 {4\pi\varepsilon_0} \int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac {q_\text{l}(x')} {|x - x'|}\, d\!\,x'$$

,
что я и хотел показать.

следует

$$E_x(x, 0, 0)=\frac 1 {4\pi\varepsilon_0} \int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac {q_\text{l}(x')(x - x')} {|x - x'|^3}\, d\!\,x'$$

,
что отличается от полученной Вами формулы только степенью в знаменателе (3 вместо 2). Похоже, что у Вас это просто описка (иначе зачем оставлять модуль).

Только нужно иметь в виду, что эта формула не для модуля вектора напряженности, а лишь для одной из его компонент. Думаю, что можно показать, что для всех тех точек на линии, где $q_\text{l}(x)\ne0$, модуль напряженности стремится к бесконечности при приближении к этим точкам, причем векторные линии вектора напряженности "втыкаются" в заряженную линию под прямым углом к ней (за исключением точек, где функция $q_\text{l}(x)$ скачком изменяется от некоторого значения до нуля (например на концах равномерно заряженного отрезка) или до некоторого значения противоположного знака).

Цитата:

Например равномерное распределние на отрезке. В этом случае интересует поле/потенциал как на отрезке, так и на некотором расстоянии от его торцов на линии, которая cодержит этот отрезок.

Для равномерно заряженного отрезка с концами $x=-a$, $x=a$ и постоянной линейной плотностью заряда $q_\text{l}$, используя выписанную выше формулу, получим
\begin{equation*} E_x(x, 0, 0)= \begin{cases} \dfrac{q_\text{l}}{4\pi\varepsilon_0} \left(\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x-a}\right) ,\quad{x}\le{a}, \\ \dfrac{q_\text{l}}{4\pi\varepsilon_0} \left(\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{x-a}\right) ,\quad{-a}<{x}<{a}, \\ \dfrac{q_\text{l}}{4\pi\varepsilon_0} \left(\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{1}{x+a}\right) ,\quad{x}\ge{a}, \end{cases}\end{equation*}
причем при ${-a}<{x}<{a}$ интеграл, строго говоря, расходится, а в формуле дано его главное значение в смысле Коши. И это главное значение особого физического смысла не имеет, т.к. все равно модуль напряженности при приближении к этим точкам стремится к бесконечности. Вне этой области на продолжении отрезка приведенные в формуле значения - это значения единственной ненулевой компоненты вектора напряженности, т.е. его модуль равен модулю этой компоненты.

[Freude]

Опять возникли проблемы при решении задач связанных с нахождением потенциала исходя из заданного распределения заряда.

Всем известна задача, решаемая аналитически, о бесконечной заряженой плоскости. Напряженность поля в этом случае константа по модулю, направление нормально плоскости и меняется на противоположное проходя сквозь плоскость. А можно ли решить аналитически задачу о плоскости все еще большой, но с конечными размерами. Пусть плоскость имеет форму круга. Поле интересует только на оси. Как вы поняли, интересует эффект границ плоскости при достаточном удалении от ее. Ясно, что потенциал, изменяясь линейно возле плоскости, будет меняться как $\dfrac{1}{r}$ на бесконечности, но как получить это аналитически?

[Sergiy_psm]

Freude писал(а):

А можно ли решить аналитически задачу о плоскости все еще большой, но с конечными размерами. Пусть плоскость имеет форму круга. Поле интересует только на оси.

Можно, интегрируя формулу потенциала точечного заряда. Могу позже найти или привести расчет.

Добавлено спустя 26 минут 19 секунд:

Нашел у Фейнмана:

[Freude]

То что надо! Спасибо!

[Sergiy_psm]

Freude писал(а):

Ясно, что потенциал, изменяясь линейно возле плоскости, будет меняться как $\dfrac{1}{r}$ на бесконечности, но как получить это аналитически?

Видите предельный переход при $r \gg R$?

\[ \begin{array}{l} \phi = \frac{\sigma }{{2\varepsilon _0 }}\left( {\sqrt {r^2 + R^2 } - r} \right) \approx \frac{\sigma }{{2\varepsilon _0 }}\left( {r\left( {1 + \frac{{R^2 }}{{r^2 }}} \right) - r} \right) = \\ = \frac{\sigma }{{2\varepsilon _0 }}\frac{{R^2 }}{{2r}} = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{q}{r} \\ \end{array} \]

[Freude]

Естественно, при любой форме распределения (стремящейся к нулю на бесконечностях) должна быть такая асимптотика. Т.е. лишнее доказательство что Фейнман не врет

[Freude]

Sergiy_psm писал(а):

Freude писал(а):

А можно ли решить аналитически задачу о плоскости все еще большой, но с конечными размерами. Пусть плоскость имеет форму круга. Поле интересует только на оси.

Можно, интегрируя формулу потенциала точечного заряда. Могу позже найти или привести расчет.

Добавлено спустя 26 минут 19 секунд:

Нашел у Фейнмана:

Не могли бы Вы, пожалуйста, дать ссылку на страницы книги Фейнмана. Я не могу найти эту формулу, а сослаться очень надо. Или загрузить снова эти рисунки... Спасибо

[MOPO3OB]

Цитата:

Я говорил об одномерной системе. Например нанотрубка.

Так одномерной или нанотрубке?

Вещи немного сильно разные... поле вне трубки никак не одномерное...
и

Если всерьез нанотрубка надо решать в цилиндрических координатах...

Цитата:

Можно, интегрируя формулу потенциала точечного заряда. Могу позже найти или привести расчет.

если это "провод" то потенциал будет искажаться и нужно решать граничную задачу. По просту говря функция Грина для задачи и для вакуума различны.