Винеровский процесс (нестандартная задача)

[pasha_ch]

Задача состоит в следующем: есть совокупность винеровских прооцессов, стартующих из точек 0, 1, 2, 3,... Для каждого из процессов 1, 2, 3,... расссмотрим случайные величины: момент первой встречи этого процесса с 0-ым.Нужно найти распределение суммарного количества встреч за время T.
Уже найдено рапределение каждого отдельного момента встречи и с помощью леммы Бореля-Кантелли доказано, что их конечное число с вероятностью 1.
Буду рад выслушать любые предложения.[/b]

[finanzmaster]

pasha_ch писал(а):

Задача состоит в следующем: есть совокупность винеровских прооцессов, стартующих из точек 0, 1, 2, 3,... Для каждого из процессов 1, 2, 3,... расссмотрим случайные величины: момент первой встречи этого процесса с 0-ым.Нужно найти распределение суммарного количества встреч за время T.
Уже найдено рапределение каждого отдельного момента встречи и с помощью леммы Бореля-Кантелли доказано, что их конечное число с вероятностью 1.
Буду рад выслушать любые предложения.[/b]

Ну прежде всего, независимы ли Ваши винеровские процессы?
Наверное, да - иначе все становится еще сложнее

Кое-что по теме Вы можете найти у Шрива (Steven Shreve) (§3.6. First Passage Time Distribution).
В Сети также есть бесплатный черновик этой книги в виде Lecture Notes, читанных Шривом.

Я бы решал примерно так: пусть $m = const$ - некий уровень, $\tau_m$ - время, в которое винеровский процесс впервые пересекает этот уровень. Тогда (см. Шрива)

$$ \mathbb{P}\{ \tau _m \le T\} = {2 \over {\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{{{\left| m \right|} \over {\sqrt T }}}^\infty {e^{{{y^2 } \over 2}} } dy $$

Но это верно только для "стандартного" винеровского процесса, т.е. который начинается из нуля.
Теперь, возвращаясь к Вашей ситуации: рассмотрим, например, процесс
$X(t): = W^0 (t) - W^1 (t)$ - т.е. разность винеровских процессов, стартующих, соотв., в нуле и в единице.
Т.к. при суммировании нормальных случайных величин ожидания и дисперсии складываются, то в каждый момент времени $t$ $X(t)$ ~ $N(-1, 2t)$, инкременты его будут нормальны и независимы - ну т.е. "почти" винеровский процесс, только дисперсия в два раза больше.

Очевидно, что $W^0 (t)$ и $W^1 (t)$ встречаются тогда и только тогда, когда $X(t)=0$

Теперь для удобства сдвинем его на единицу вверх по оси ОY и рассм. $Y(t) := X(t) +1$
Тогда $Y(t)$ стартует из нуля и мы можем рассматривать событие, что $Y(t) \ge 1$
И вот тут (imho!) можно доказать, что для $Y(t)$ формула из Шрива будет иметь вид

$$ \mathbb{P}\{ \tau _m^{Y(t)} \le T\} = {2 \over {\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{{{\left| m \right|} \over {\sqrt {2T} }}}^\infty {e^{{{y^2 } \over 2}} } dy $$

.
Для этого надо почти дословно повторить рассуждения Шрива, главное, что $Y(t)$ - мартингал.
Осталось только подставить $m=1$

Аналогично рассматриваете встречу с другими процессами - ну т.к. эти встречи независимы, то дальше уже несложно посчитать и вероятности суммарного кол-ва встреч.

[pasha_ch]

Спасибо за предложение....но есть одно но...
Все винеровские процессы то независимы, но так как рассматриваются моменти встречи всех
из одним фиксированым - стартующим из 0, то эти моменты встреч не будут независимыми. Да и распределены они по разному, а это утрудняет подсет распределения суммарного количества встреч (ведь даже если бы они были независимы, модель биномиального рапределения использовать нельзя именно из-за того, что отдельные моменты распределены по разному)

[finanzmaster]

pasha_ch писал(а):

Спасибо за предложение....но есть одно но...
Все винеровские процессы то независимы, но так как рассматриваются моменти встречи всех
из одним фиксированым - стартующим из 0, то эти моменты встреч не будут независимыми.

Это почему?
Что особенного в том, что мы фиксируем один из независимых процессов?

pasha_ch писал(а):

Да и распределены они по разному, а это утрудняет подсет распределения суммарного количества встреч (ведь даже если бы они были независимы, модель биномиального рапределения использовать нельзя именно из-за того, что отдельные моменты распределены по разному)

Это да, но что ж поделаешь - в теории случайных процессов громоздские формулы - не редкость.

[pasha_ch]

Возник еще один вопрос: как найти совместную плотность для моментов первой встречи (хотя бы в случае двух таких моментов, т.е. для моментов встречи винеровских процесов, стартующих из точек один и два, с процессом, стартующим из нуля).