Помогите решить уравнение в частных производных

[myjobisgop]

$u_{tt} = u_{x_1x_1} + u_{x_2x_2} + u_{x_3x_3}$

$u(x,0) = x_1^2\sin(x_2+x_3)$

$u_t(x,0) = 0$

В каком виде искать решение? Я пытался в виде $u = \alpha(t)x_1^2\sin(x_2+x_3) + \beta(t)\sin(x_2+x_3)$, но это дает только тривиальное решение.

[Ms-dos4]

Так это же просто волновое уравнение (только и того, что в пространстве). Открываете любой учебник/справочник (например Полянина по лин. УМФ).

[exitone]

$\Delta [x^2_1 \sin(x_2 + x_3) ] = 2\sin(x_2 + x_3) - 2x^2_1 \sin(x_2 + x_3)$
т.е. инвариантное подпространство натянуто на функции $<\sin(x_2 + x_3), x^2_1 \sin(x_2 + x_3)>$
И Вы все правильно искали.

$ -2\ddot{\alpha}(t) = \alpha(t) $
$\ddot{\beta}(t) = 2\alpha(t) - 2\beta(t)$

На вскидку кажется, что вряд ли получится тривиальное решение. У Вас такая же система?

[myjobisgop]

exitone
Да, такая. А теперь запишите ее начальные условия и поймете о чем я говорил.

[exitone]

$\alpha(0) = 1 , \beta (0) = \dot{\beta}(0) = \dot{\alpha}(0) = 0 $

решение уравнения

$ 2\ddot{\alpha}(t) + \alpha(t) = 0$

это синусы и косинусы

$\dot{\alpha}(0)=0$ оставляет одну из тригонометрических функций, $\alpha(0) = 1$ определяет константу при ней.