Коэффициент корреляции квадратов случайных величин

[Alex_CAPS]

Доброго всем времени суток! Задача такова:
Совместное распределение случайных величин $\xi$ и $\eta$ нормальное, причём $\M(\xi) = M(\eta) = 0$, а коэффициент корреляции $\xi$ и $\eta$ равен $r$. Найти коэффициент корреляции случайных величин $\xi^2$ и $\eta^2$


Из того, что совместное распределение нормальное, следует, что случайные величины $\xi$ и $\eta$ подчинены нормальным законам.
Можно записать плотность распределения каждой из величин:
$f_{\xi} = \frac{1}{\sigma_\xi \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\xi^2}{2\sigma^2_\xi}}$
Аналогично для $\eta$

Так же можно заметить, что $\sigma_\xi = \sqrt{D_\xi} = \sqrt{M(\xi^2)}$

Нам необходимо найти коэффициент корреляции $r(\xi^2,\eta^2) = \frac{M(\xi^2 \eta^2) - M(\xi^2)M(\eta^2)}{\sqrt{D(\xi^2)D(\eta^2)}}$

Но мне не ясно, что делать с $M(\xi^2 \eta^2)$ и $D(\xi^2)$

-- 26.12.2013, 23:46 --

Можно ли утверждать, что $f_{\xi^2} = \frac{1}{\sigma_\xi \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\xi^4}{2\sigma^2_\xi}}$

[profrotter]

Alex_CAPS в сообщении #806675 писал(а):

Но мне не ясно, что делать с $M(\xi^2 \eta^2)$

$M\{\xi^2\eta^2\}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2y^2f_{\xi\eta}(x,y)dxdy$ - двумерный начальный момент четвёртого порядка. Для нормального распределения штука известная, в некоторых учебниках/справочниках приведена, особенно при нулевых мат. ожиданиях величин. Можно и самому интегралы взять. Но если самому, то лучше всё же не интеграл считать, а найти этот момент через двумерную характеристическую функцию - дифференцировать приятнее чем интегрировать.

[Alex_CAPS]

profrotter в сообщении #806696 писал(а):

$M\{\xi^2\eta^2\}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2y^2f_{\xi\eta}(x,y)dxdy$

Я так понимаю, $f_{\xi \eta}(x, y) = \frac{1}{2\pi \sigma_\xi \sigma_\eta \sqrt{1 - r^2}} e^{-\frac{1}{2 (1-r^2)}(\frac{x^2}{\sigma_\xi ^2} - \frac{2rxy}{\sigma_\xi \sigma_\eta} + \frac{y^2}{\sigma_\eta ^2})}}$ , где $\sigma_\xi$ и $\sigma_\eta$ не зависят от $x$ и $y$.

[Alex_CAPS]

Я рискнул пойти через интегралы. С помощью Wolfram Mathematica удалось вычислить интеграл.
$M\{\xi^2\eta^2\}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2y^2f_{\xi\eta}(x,y)dxdy = \frac{\sigma_\eta^2(1+2r^2) \sqrt{-\sigma_\eta ^2 (-1+r^2)}}{(\frac{1}{\sigma_\xi})^\frac{5}{2}\sigma_\xi ^3 \sqrt{1-r^2}}$

[ИСН]

Вольфрам иногда невыносимо тупит с очевидными сокращениями.

[profrotter]

Ваше выражение ещё немного упростить можно, но думаю преподаватель у вас такое решение не примет. Характеристическая функция в двумерном случае при нулевых мат. ожиданиях описывается выражением

$$\theta_{\xi\eta}(u,v)=e^{-\frac{1}{2}(\sigma_{\xi}^2u^2+2r\sigma_{\xi}\sigma_{\eta}uv+\sigma_{\eta}^2v^2)}.$$

Двумерный начальный момент

$$M\{\xi^n\eta^k\}=(-j)^{n+k}\left.\frac{\partial^{n+k}\theta_{\xi\eta}(u,v)}{\partial u^n\partial v^k}\right|_{u=v=0}.$$

Только формулы эти надо с учебником сверить, а то новый год на носу.

[Alex_CAPS]

profrotter в сообщении #806790 писал(а):

Ваше выражение ещё немного упростить можно, но думаю преподаватель у вас такое решение не примет. Характеристическая функция в двумерном случае при нулевых мат. ожиданиях описывается выражением

$$\theta_{\xi\eta}(u,v)=e^{-\frac{1}{2}(\sigma_{\xi}^2u^2+2r\sigma_{\xi}\sigma_{\eta}uv+\sigma_{\eta}^2v^2)}.$$

Двумерный начальный момент

$$M\{\xi^n\eta^k\}=(-j)^{n+k}\left.\frac{\partial^{n+k}\theta_{\xi\eta}(u,v)}{\partial u^n\partial v^k}\right|_{u=v=0}.$$

Только формулы эти надо с учебником сверить, а то новый год на носу.

Нашёл характеристическую функцию двумерной случайной величины. При нулевых матожиданиях она действительно выглядит так, как Вы сказали.

Я продифференцировал характеристическую функцию и вычислил значение в точке $(0; 0)$
$M(\xi^2\eta^2) = j^2 \cdot (2\sigma_\xi^2\sigma_\eta^2 r^2 +\sigma_\xi^2\sigma_\eta^2 )$

-- 27.12.2013, 16:31 --

Простите за глупый вопрос, но что есть $j$?

[profrotter]

а-а-а... $j$ - это $i$. Такая что $j^2=-1$. Мнимая единица в общем.

Кстати, у вас там должно быть $j^4$ наверное.

[Alex_CAPS]

А! Тогда $M(\xi^2\eta^2) = (2\sigma_\xi^2\sigma_\eta^2 r^2 +\sigma_\xi^2\sigma_\eta^2 )$

Осталось разобраться с $D(\xi^2)$
У меня не появилось новых мыслей, кроме предположения $f_{\xi^2} = \frac{1}{\sigma_\xi \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\xi^4}{2\sigma^2_\xi}}$, где матожидание и стандартное отклонение $\sigma$ остаются прежними. Но это предположение остаётся безосновательным.

[ИСН]

Кто Вам мешает её тоже развернуть через моменты, которые посчитать тем же способом?

[--mS--]

(Оффтоп)

Alex_CAPS в сообщении #806880 писал(а):

У меня не появилось новых мыслей, кроме предположения $f_{\xi^2} = \frac{1}{\sigma_\xi \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\xi^4}{2\sigma^2_\xi}}$, где матожидание и стандартное отклонение $\sigma$ остаются прежними. Но это предположение остаётся безосновательным.

Оно не только безосновательное, оно абсурдное. От таких предположений спасает указание аргументов у функций. Как только $f_{\xi^2}$ станет $f_{\xi^2}(x)$, желание в $f_\xi(x)= \frac{1}{\sigma_\xi \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2_\xi}}$ вместо $x$ подставлять $x^2$ обычно проходит.

Вычисляйте моменты через интегралы по исходной плотности, ни к чему искать плотность квадрата.

[Alex_CAPS]

Для нормального распределения с нулевым матожиданием характеристическая функция принимает вид $\phi_\xi(t) = e^{\frac{\sigma_\xi ^2 t^2}{2}}$.
Дисперсия $D(\xi^2) = M(\xi^4) - (M(\xi^2))^2$.
Для вычислений $M(\xi^4)$ и $M(\xi^2)$ необходимо воспользоваться формулой $M(\xi^n) = -i^n \left.\frac{d^n}{dt^n}\phi_\xi(t)\right|_{t=0}$

-- 27.12.2013, 18:35 --

Получил $D(\xi^2) = -3\sigma_\xi^4 - (\sigma_\xi^2)^2 = -4\sigma_\xi^4$

-- 27.12.2013, 18:37 --

Alex_CAPS в сообщении #806880 писал(а):

А! Тогда $M(\xi^2\eta^2) = (2\sigma_\xi^2\sigma_\eta^2 r^2 +\sigma_\xi^2\sigma_\eta^2 )$

Похоже я забыл минус и $M(\xi^2\eta^2) = -(2\sigma_\xi^2\sigma_\eta^2 r^2 +\sigma_\xi^2\sigma_\eta^2 )$

-- 27.12.2013, 18:47 --

Получил такой коэффициент корреляции:$r(\xi^2, \eta^2) = \frac{-r^2-1}{2}$

[--mS--]

Hint: квадрат вещественного числа не бывает отрицательным.

[ewert]

Alex_CAPS в сообщении #806907 писал(а):

Получил такой коэффициент корреляции:$r(\xi^2, \eta^2) = \frac{-r^2-1}{2}$

Полезно проверять ответы на правдоподобность. Предположим, что исходная корреляция единична (для простоты -- плюс единична), т.е. исходные величины попросту пропорциональны друг другу. Будет ли тогда ответом минус единичка, т.е. будут ли тогда квадраты исходных величин пропорциональны с отрицательным коэффициентом пропорциональности?...

[ИСН]

Встреча с покойником, несущим пустые вёдра, не сулит ничего хорошего.
То же самое касается отрицательной дисперсии.