Вопросы по дифф. уравнениям

[Nakamura]

1. Пусть есть краевая задача:
$a_{0}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y=f(x), x_{0}\leqslant x \leqslant x_{1}$
$\alpha y'(x_{0}) + \beta y(x_{0})=0$, $\gamma y'(x_{1}) + \delta y(x_{1})=0$.
Известно, что существует функция, удовлетворяющая обоим краевым условиям. Что тогда можно сказать про $y_{1}(x)$ и $y_{2}(x)$?
Я знаю, что ответ - $y_{1}=Cy_{2}$, но как это правильно обосновать?
2. Пусть есть уравнение третьего порядка $y'''=F(x,y,y',y'')$ и два начальных условия $y(x_{0})=y_{0}$ и $y'(x_{0})=y'_{0}$. Пусть $f(x,C)$ - множество решений этого уравнения. Доказать, что $C_{1} \ne C_{2} \Rightarrow f(x,C_{1}) \ne f(x,C_{2}).$ Вроде бы простая задача, но я не могу додуматься до решения, противоречия с теоремой существования и единственности нет.
Посоветуйте, пожалуйста, где можно порешать похожие задачи именно на понимание.

[ewert]

Nakamura в сообщении #806692 писал(а):

Я знаю, что ответ - $y_{1}=Cy_{2}$, но как это правильно обосновать?

Так, что пространство решений ДУ 2-го порядка -- двумерно. И если одна степень свободы выбита неким граничным условием, то остаётся лишь другая, причём какая -- ясно.

(ну плюс в том, что касается техники обоснования -- воспользоваться тем, что граничные условия именно типа Штурма; а иначе и само утверждение неверно)

[Nakamura]

А как можно строго показать, что это условие "выбивает" одну степень свободы?

[ewert]

Я что-то перестал понимать, о чём вообще речь.

Nakamura в сообщении #806692 писал(а):

Известно, что существует функция, удовлетворяющая обоим краевым условиям. Что тогда можно сказать про $y_{1}(x)$ и $y_{2}(x)$?

А кто это такие -- $y_{1}(x)$ и $y_{2}(x)$?...

Со второй задачкой ещё интереснее:

Nakamura в сообщении #806692 писал(а):

Пусть $f(x,C)$ - множество решений этого уравнения. Доказать, что $C_{1} \ne C_{2} \Rightarrow f(x,C_{1}) \ne f(x,C_{2}).$ Вроде бы простая задача, но я не могу додуматься до решения

Я тоже не могу, и вряд ли кто-нибудь сможет. Произвольная постоянная может ведь вводиться если и не как угодно, то очень многими способами. Ну разве что интерпретировать постановку задачи так:

"Доказать, что если $f(x,C_{1}) \ne f(x,C_{2})$ при любых $C_{1} \ne C_{2}$, то тогда $C_{1} \ne C_{2} \Rightarrow f(x,C_{1}) \ne f(x,C_{2})$"

...