Теория вероятностей, случайные величины

[Hostage]

Не могу разобраться с 2 задачами
1)Пусть при фиксированном $n>1$ случайная величина $\xi_n$ принимает n значений: $\frac1n,\frac2n,...,\frac{n-1}{n},1$ с равными вероятностями. Найти предел последовательности $\xi_n$ в смысле слабой сходимости при $n\rightarrow\infty$

По определению слабой сходимости $\xi_n\Rightarrow\xi$ если $E_{g(\xi_n)}\rightarrow E_{g(\xi)}\forall g$ - непрерывной и ограниченной функции
Я нашел предел для $E_{\xi_n}$. Что теперь делать не понимаю...

2)Является ли функция $\varphi(t) = \frac{2t^2+2}{4t^2+2}$ характеристической? Ответ обосновать.
Я так понимаю, чтобы опровергнуть, нужно проверить свойства. И если я не ошибаюсь, то эта функция удовлетворяет всем свойствам хар функции. Но это не является обоснованием того, что это действительно хар функция... Нужно явно указать какое-то распределение, для которого она действительно является таковой. Но каким образом его построить?

[ShMaxG]

Во второй задаче нет опечатки? Подозрительно, что на двойки числитель и знаменатель можно сократить.

[--mS--]

(Оффтоп)

Судя по тому, что ТС не заметил даже этого, зачёт сдавать предстоит долго

[Hostage]

--mS-- в сообщении #806160 писал(а):

(Оффтоп)

Судя по тому, что ТС не заметил даже этого, зачёт сдавать предстоит долго

Я написал задачу так, как она дана. Если функция дана в таком виде, значит это что-то должно значить, как я думал. Хотя изначально я начал именно с того, что сократил всё на 2.

-- 26.12.2013, 01:53 --

ShMaxG в сообщении #806155 писал(а):

Во второй задаче нет опечатки? Подозрительно, что на двойки числитель и знаменатель можно сократить.

В задании написано в точности так.

[--mS--]

Ну тогда в ряд разложите. По степеням какой-нибудь подходящей характеристической функции.

(Оффтоп)

И бесплатный совет: задачи с зачёта следует решать самостоятельно.

[Hostage]

--mS-- в сообщении #806167 писал(а):

Ну тогда в ряд разложите. По степеням какой-нибудь подходящей характеристической функции.

(Оффтоп)

И бесплатный совет: задачи с зачёта следует решать самостоятельно.

Это не задача с зачета, это задача с контрольной, которую мне нужно перерешать. Самостоятельно я это сделать не сумел, соответственно обратился за помощью. Я не прошу решить за меня, я прошу подсказать в каком направлении двигаться. Если нельзя даже так поступать, зачем вообще нужен этот раздел форума, и зачем Вы в него заходите?

[ShMaxG]

По второй задаче Вам подсказали. Насчет первой: не обязательно перебирать все ограниченные и непрерывные функции (выбранная Вами $g(x)=x$, кстати, не ограничена), достаточно рассмотреть $g(x)=\exp(ixt)$ при каждом $t \in \mathbb R$. Я здесь говорю о т.н. теореме непрерывности, которая, грубо говоря, означает, что слабая сходимость равносильна поточечной сходимости характеристических функций.

[Hostage]

ShMaxG в сообщении #806185 писал(а):

По второй задаче Вам подсказали. Насчет первой: не обязательно перебирать все ограниченные и непрерывные функции (выбранная Вами $g(x)=x$, кстати, не ограничена), достаточно рассмотреть $g(x)=\exp(ixt)$ при каждом $t \in \mathbb R$. Я здесь говорю о т.н. теореме непрерывности, которая, грубо говоря, означает, что слабая сходимость равносильна поточечной сходимости характеристических функций.

Я как раз и хотел узнать какую функцию можно выбрать - насчет тождественной я понял, что она не подойдет. Спасибо.
А по второй - в общем-то проблема и состоит в том, что я не могу подобрать подходящую для разложения хар функцию. Буду дальше пытаться.

[ShMaxG]

Hostage в сообщении #806194 писал(а):

А по второй - в общем-то проблема и состоит в том, что я не могу подобрать подходящую для разложения хар функцию. Буду дальше пытаться.

Там очень просто, в дебри уходить не надо. Так что подумайте еще...

[Hostage]

В общем ближайшая похожая хар функция видимо $\frac{1}{1+t^2}$.
Если разложить в степенной ряд, то
$\\ \frac{t^2+1}{2t^2+1} = 1 + \sum\limits_n\frac12 t^n 2^{\frac n2-1}((-i)^n+i^n) \\ \frac{1}{t^2+1}=\sum\limits_n\frac12 t^n((-i)^n+i^n)$
Но что-то это не особо помогло.

-- 26.12.2013, 05:24 --

А в первой если взять такую функцию, получается что
$E_{g(\xi_n)}= - \frac{ e^{\frac{it}{n}} } { (-1+e^{\frac{it}{n}})\cdot n } \rightarrow \frac i t$
То есть
$E_{g(\xi)} = \frac it$
И опять же что делать дальше?

[Otta]

Hostage в сообщении #806248 писал(а):

получается что $E_{g(\xi_n)}= - \frac{ e^{\frac{it}{n}} } { (-1+e^{\frac{it}{n}})\cdot n } \rightarrow \frac i t$

Не получается.

[Hostage]

Otta в сообщении #806272 писал(а):

Не получается.

Если взять в $Е_{g_{\xi_n}} =\sum g(a_k) p_k$ ,$g(x) = e^{itx}$? Получится сумма ряда $\frac1n\sum e^{it\frac kn}$. Разве нет?

[Otta]

Нет, у Вас же не частичные суммы вида $\sum_{k=1}^n a_k$. Слагаемые ведь тоже от $n$ зависят.

[Hostage]

Otta в сообщении #806280 писал(а):

Нет, у Вас же не частичные суммы вида $\sum_{k=1}^n a_k$. Слагаемые ведь тоже от $n$ зависят.

При чем здесь частичные суммы? Частичные суммы такого вида будут равны $\frac{e^{\frac in}(-1 + e^{\frac{im}{n}})}{-1+e^{\frac in}}$
И насчет слагаемых зависящих от n не совсем понял - ну естественно они зависят. Только от n в принципе и зависят, t же фиксированное.
Или я в принципе ищу сумму не того ряда?
Аааа, я суммировал до бесконечности, а надо до m? И потом уже смотреть к чему сходится последовательность?

[Otta]

Будет всем проще, если Вы сперва выпишете тот предел, который считаете, а уже потому будете его считать и, соответственно, писать ответы.

Hostage в сообщении #806282 писал(а):

При чем здесь частичные суммы?

Ни при чем. Это как раз Вы полагаете (но по всей видимости, не догадываетесь об этом), что причем, раз у Вас предел равен сумме какого-то ряда.