Конечные поля

[Ingvarr]

Доброго времени суток. В общем я студент 2-го курса мехмата и курсовая у меня по конечным полям. И один из подпунктов это "Представление и построение элементов конечных полей". Я в курсе что возможны три подхода к представлению... Меня вот что интересует: что за матричный подход? как его построить??? В книге Лидла и Ниеррайтера всего лишь небольшой кусочек... А поподробнее может кто подсказать где найти?

[AV_77]

А что в нем непонятного? Берете неприводимый многочлен $f(x)$ и строите его сопровождающую матрицу $A$. Тогда $f(A) = 0$ и эту матрицу $A$ можно использовать как корень многочлена $f(x)$, порождающего поле.

[Ingvarr]

А большое количество литературы по этому вопросу где можно найти? Какие кто книги посоветовать может?

PS Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах

[VAL]

Ingvarr в сообщении #805968 писал(а):

А большое количество литературы по этому вопросу где можно найти? Какие кто книги посоветовать может?

PS Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах

Насколько мне известно, именно книжка Лидла и Нидеррайтера - лучшее что есть по конечным поля. Все (включая матричное представление) излагается подробно, с примерами (см., примеры 2.53 и 2.54) комментариями и упражнениями.

Поэтому, если она Вас не устраивает, трудно Вам что-то посоветовать. В других книжках (по алгебре, комбинаторике, теории кодирования) конечным полям обычно отводится один-два параграфа. А тут целых два тома. Где же искать подробности, как не у Лилда с Нидеррайтером?

[Ingvarr]

VAL в сообщении #805998 писал(а):

Ingvarr в сообщении #805968 писал(а):

А большое количество литературы по этому вопросу где можно найти? Какие кто книги посоветовать может?

PS Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах

Насколько мне известно, именно книжка Лидла и Нидеррайтера - лучшее что есть по конечным поля. Все (включая матричное представление) излагается подробно, с примерами (см., примеры 2.53 и 2.54) комментариями и упражнениями.

Поэтому, если она Вас не устраивает, трудно Вам что-то посоветовать. В других книжках (по алгебре, комбинаторике, теории кодирования) конечным полям обычно отводится один-два параграфа. А тут целых два тома. Где же искать подробности, как не у Лилда с Нидеррайтером?

Ну так-то да. Но для курсовой материала не сильно хватает... А за совет спасибо)

[AV_77]

Ingvarr в сообщении #805968 писал(а):

Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах

Там же пример есть. Для многочлена $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_{n-1}x^{n-1} + x^n$ сопровождающей матрицей является матрица
$ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & -a_2 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & -a_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}. $
В последнем столбце матрицы выписываются коэффициенты многочлена с обратным знаком начиная с младшего.

Например, пусть $f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + x^4$ над полем $\mathbb{F}_5$Тогда сопровождающая матрица имеет вид
$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $

[Ingvarr]

AV_77 в сообщении #806091 писал(а):

Ingvarr в сообщении #805968 писал(а):

Я не могу понять как строиться сопровождающая матрица. Пожалуйста, объясните на конкретных примерах

Там же пример есть. Для многочлена $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_{n-1}x^{n-1} + x^n$ сопровождающей матрицей является матрица
$ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & -a_2 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & -a_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}. $
В последнем столбце матрицы выписываются коэффициенты многочлена с обратным знаком начиная с младшего.

Например, пусть $f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + x^4$ над полем $\mathbb{F}_5$Тогда сопровождающая матрица имеет вид
$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $

а почему тогда последний столбец во второй матрице перевернут?

[AV_77]

Ingvarr в сообщении #806101 писал(а):

а почему тогда последний столбец во второй матрице перевернут?

Куда он перевернут, вы в конечных полях умеете работать? В последнем столбце стоят:
- первая строка $-1 \equiv 4 \pmod{5}$,
- вторая строка $-2 \equiv 3 \pmod{5}$,
- третья строка $-3 \equiv 2 \pmod{5}$,
- четвертая строка $-4 \equiv 1 \pmod{5}$.

[Ingvarr]

AV_77 в сообщении #806105 писал(а):

Ingvarr в сообщении #806101 писал(а):

а почему тогда последний столбец во второй матрице перевернут?

Куда он перевернут, вы в конечных полях умеете работать? В последнем столбце стоят:
- первая строка $-1 \equiv 4 \pmod{5}$,
- вторая строка $-2 \equiv 3 \pmod{5}$,
- третья строка $-3 \equiv 2 \pmod{5}$,
- четвертая строка $-4 \equiv 1 \pmod{5}$.

Все понял, спасибо)