Асимптотика на бесконечности (Зорич VI.3.5)

[Urnwestek]

Задача:
Доказать, что $\int\limits_1^{x^2} \frac{e^t}{t} dt \sim \frac{e^{x^2}}{x^2}$ при $x \to +\infty$.

Я пытался доказывать по определению, перво наперво можно заменить $y=x^2$ для удобства, далее получим, что надо доказать:
$\lim\limits_{y \to +\infty} \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n \frac{e^{ \frac{k(y-1)}{n} }}{\frac{k(y-1)}{n}} \frac{(y-1)}{n} \frac{y}{e^y} = 1$
кое-что там сокращается, но ни к чему хорошему не приводит. Как такое делать?

[Deggial]

Urnwestek в сообщении #806016 писал(а):

Доказать, что $\int\limits_1^{x^2} \frac{e^t}{t} dt \sim \frac{e^{x^2}}{x^2}$ при $x \to +\infty$.

По частям интегрировать пробовали?

[Urnwestek]

$$\int\limits_1^{x^2} \frac{1}{t} de^t = \frac{e^t}{t} |\limits_1^{x^2} + \int\limits_1^{x^2} \frac{e^t}{t^2} dt = \frac{e^{x^2}}{x^2} - e + \int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^2}dt $$

Типа так? Я пока не вижу, что это может дать, теперь надо доказывать, что $\lim\limits_{x \to +\infty} \int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^2}dt = e$, что, вроде как, не проще.

(Оффтоп)

Как в TeXе большую вертикальную палочку можно поставить нормально? Я про $ |\limits_1^{x^2}$ к примеру.

[Otta]

Зачем? Какое слагаемое дает основной вклад?

-- 25.12.2013, 20:31 --

(Оффтоп)

$$\left. \frac{e^t}{t} \right|_0^{x^2}$$

\left. \frac{e^t}{t} \right|_0^{x^2}

[Deggial]

Urnwestek в сообщении #806038 писал(а):

Типа так?

Ага, сразу раза 3 так сделайте для пущей уверенности

[Urnwestek]

Otta в сообщении #806042 писал(а):

Зачем? Какое слагаемое дает основной вклад?

Да, точно, доказывать, что именно к $e$ сходится не нужно.
Но ещё одна проблема, а вдруг $ \int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^2}dt$ даёт вклад больший, чем $\frac{e^{x^2}}{x^2}$? То есть ещё нужно показать каким-то образом, что $ \int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^2}dt = o(\frac{e^{x^2}}{x^2})$ при $x \to +\infty$.

[Deggial]

Urnwestek в сообщении #806055 писал(а):

То есть ещё нужно показать каким-то образом, что $ \int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^2}dt = o(\frac{e^{x^2}}{x^2})$ при $x \to +\infty$.

Попробуйте разбить интеграл на $2$ интеграла и каждый по своему оценить. Промежуточный предел интегрирования подберите самостоятельно. Действуйте, пробуйте, это несложно.

[Oleg Zubelevich]

раз асимптотика уже известна остается убедиться что

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\int\limits_1^{x^2} \frac{e^t}{t} dt }{ \frac{e^{x^2}}{x^2}}=1$$

по правилу Лопиталя

[Otta]

(Оффтоп)

Неее.... ну это скучно))). Хотя безусловно правильно.
Асимптотику искать интереснее.

[ewert]

Напрашивается замена $t=x^2-s$, после чего исходный интеграл сводится к $\frac{e^{x^2}}{x^2}\cdot\int\limits_0^{x^2-1}e^{-s}\cdot\frac1{1-\frac{s}{x^2}}\,ds$. Ну последний интеграл довольно очевидно стремится к единице. Более того: с точки зрения получения асимптотики дробь можно безнаказанно разложить в ряд, произнеся приличествующие случаю заклинания...

[Urnwestek]

Oleg Zubelevich в сообщении #806067 писал(а):

раз асимптотика уже известна остается убедиться что

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\int\limits_1^{x^2} \frac{e^t}{t} dt }{ \frac{e^{x^2}}{x^2}}=1$$

по правилу Лопиталя

Действительно же! Как всё просто-то было. (:

Deggial в сообщении #806061 писал(а):

Попробуйте разбить интеграл на $2$ интеграла и каждый по своему оценить. Промежуточный предел интегрирования подберите самостоятельно. Действуйте, пробуйте, это несложно.

Да, если ещё два раза прокрутить интегрирование по частям, а затем применить первую теорему о среднем, то довольно легко получается. $ \int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^2}dt = [\frac{e^{x^2}}{x^4} - e] + 2\int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^3} dt = [\frac{e^{x^2}}{x^4} - e] + 2[\frac{e^{x^2}}{x^6} - e] + 6 \int_1^{x^2} \frac{e^t}{t^4} dt = o(\frac{e^{x^2}}{x^2}) + 6 \frac{e^{\zeta}}{\zeta^2} \int_1^{x^2} \frac{1}{t^2} dt = o(\frac{e^{x^2}}{x^2}) + 6 \frac{e^{\zeta}}{\zeta^2} (1- \frac{1}{x^2}) = o(\frac{e^{x^2}}{x^2})$ где $\zeta \in (1,x^2)$.

ewert в сообщении #806076 писал(а):

Напрашивается замена $t=x^2-s$, после чего исходный интеграл сводится к $\frac{e^{x^2}}{x^2}\cdot\int\limits_0^{x^2-1}e^{-s}\cdot\frac1{1-\frac{s}{x^2}}\,ds$. Ну последний интеграл довольно очевидно стремится к единице. Более того: с точки зрения получения асимптотики дробь можно безнаказанно разложить в ряд, произнеся приличествующие случаю заклинания...

Тоже красивое решение, тут достаточно лишь теоремы о том, что степенные ряды можно интегрировать почленно?

[ewert]

Urnwestek в сообщении #806094 писал(а):

тут достаточно лишь теоремы о том, что степенные ряды можно интегрировать почленно?

Нет, недостаточно; и даже не нужно. Тут пафос в другом: получающийся на выходе асимптотический ряд -- степенной, в то время как любые разумные манипуляции с верхними пределами интегрирования дают лишь экспоненциально малые поправки.