Задача по функциональному анализу 2.

[belka-strelka]

Друзья, добрый день. Задали задачку по функциональному анализу:

Найти первые две производные в $D'$ следующей функции: $F: F(x)=0$ при $x<0$ , $F(x)=x+1$ при $x\geqslant0$

Вот что у меня получилось:
$F'(\varphi)= \delta(\varphi)+$ X $(\varphi) $
$F''(\varphi)= -\delta'(\varphi)- \delta(\varphi)$

Преподаватель говорит, что вторая производная не правильная. Помогите, пожалуйста, разобраться.

[ИСН]

Ну э... чему равна производная от первого слагаемого?

-- менее минуты назад --

А от второго?

[ewert]

Минус-то откуда?...

[ИСН]

Вы, ewert, обобщаете чересчур круто... это как сказать, будто Балтийский флот - Краснознамённый.

(Оффтоп)

А на самом деле он - Дважды Краснознамённый.

[belka-strelka]

$\delta'(\varphi)= - \delta(\varphi')$
разве не так?

[ewert]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #805890 писал(а):

Вы, ewert, обобщаете чересчур круто...

Я ничего не обобщаю. Я просто догадываюсь, откуда мог взяться минус. А Вы догадываетесь?...

-- Ср дек 25, 2013 15:22:36 --

belka-strelka в сообщении #805895 писал(а):

$\delta'(\varphi)= - \delta(\varphi')$
разве не так?

Допустим. И как Вы понимаете эту запись?...

[ИСН]

belka-strelka в сообщении #805895 писал(а):

$\delta'(\varphi)= - \delta(\varphi')$
разве не так?

Не совсем так. То есть так, но это не то.

ewert в сообщении #805901 писал(а):

откуда мог взяться минус. А Вы догадываетесь?

Первый - да, второй - нет.

[ewert]

ИСН в сообщении #805903 писал(а):

Первый - да, второй - нет.

А он автоматом одновременно с первым.

[belka-strelka]

ИСН в сообщении #805882 писал(а):

Ну э... чему равна производная от первого слагаемого?

-- менее минуты назад --

А от второго?

т.к второе слагаемое это функция Хевисайда, то его производная равна $\delta$

получается, что $F''(\varphi)=- \delta(\varphi')+ \delta $

[ewert]

belka-strelka в сообщении #805908 писал(а):

получается, что $F''(\varphi)=- \delta(\varphi')+ \delta $

Нет, не получается. Вы явно не понимаете определения обобщённой производной.

А спровоцировано это крайне неразумными обозначениями. Традиционно значение обобщённой функции (как функционала) на пробной принято обозначать не как $\delta(\varphi)$, а как $(\delta,\varphi)$ (или уж не важно каких, но -- скобках). Вот именно во избежание подобной путаницы и принято.

[belka-strelka]

ewert в сообщении #805919 писал(а):

belka-strelka в сообщении #805908 писал(а):

получается, что $F''(\varphi)=- \delta(\varphi')+ \delta $

Нет, не получается. Вы явно не понимаете определения обобщённой производной.

А спровоцировано это крайне неразумными обозначениями. Традиционно значение обобщённой функции (как функционала) на пробной принято обозначать не как $\delta(\varphi)$, а как $(\delta,\varphi)$ (или уж не важно каких, но -- скобках). Вот именно во избежание подобной путаницы и принято.

ewert, скорее всего, Вы правы. Просто я пользуюсь тем, как вводил эти обозначения преподаватель.

Я не совсем понимаю, почему производная первого слагаемого не правильная. Поясните, пожалуйста.

[Null]

Да $(\delta',\varphi)=-\phi'(0)$, но это не означает что $(\delta)'=-\delta'$

(Оффтоп)

\vardelta не видно, а на \delta ругается

-- Ср дек 25, 2013 16:34:54 --

Там минус входит в определение.

[belka-strelka]

Null в сообщении #805937 писал(а):

Да $(\delta',\varphi)=-\phi'(0)$, но это не означает что $(\delta)'=-\delta'$

(Оффтоп)

\vardelta не видно, а на \delta ругается

-- Ср дек 25, 2013 16:34:54 --

Там минус входит в определение.

Спасибо, я разобралась.