Метод Спуска

[rightways]

$x,y,z$ - целые числа и
$x^2+y^2+z^2=89(xy+yz+zx)$
Докажите, что $x=y=z=0$

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить/разобраться (Ф)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[scwec]

Пусть $x^2+y^2+z^2\ne{0}$. Без ограничения общности $x,y,z$ не имеют общего делителя.
$89[(x+y-z)^2+(y+z-x)^2+(z+x-y)^2]=265(x^2+y^2+z^2)$ из условия задачи.
Левая часть может делиться на $5$ если только одно из слагаемых $\equiv{1}$, какое-то $\equiv{-1}$ и отавшееся $\equiv{0}$ по модулю $5$.
Далее разборки по модулю $5$ показывают, что этого быть не может.

[Null]

Цитата:

Левая часть может делиться на $5$ если только одно из слагаемых $\equiv{1}$, какое-то $\equiv{-1}$ и отавшееся $\equiv{0}$ по модулю $5$

Это вполне возможно, например для чисел 1,3,4

[scwec]

Согласен, тоньшей надо работать.

[Null]

$x^2-89(y+z)x+y^2+z^2-89xy=0$
Значит если $x,y,z$ решение то и $89(y+z)-x,y,z$ -решение

$(x+y+z)^2=91(xy+yz+zx)$ Значит
$x+y+z=91a$
$xy+yz+zx=91a^2$
Можно считать $a>0$.
1. $x+y>0,y+z>0,z+x>0$ Иначе $z>0,z(x+y)+xy<0$
2.Можно считать что $x>0$, иначе перейдем к $89(y+z)-x>0,y,z$($a$ перейдет в $90a-x$)
3. $x+y>a,y+z>a,z+x>a$ Иначе $z-x-y\ge 89a,91a^2=\frac{(x+y+z)^2-(z-x-y)^2+(x+y)^2-(x-y)^2}{4}\ge\frac{91^2a^2-89^2a^2+a^2}{4}<91a^2$


Надо доказать что если $x>y>z$, то $0<89(y+z)-x<x$

[Shadow]

Я установил (компютером), что
$x \equiv y \equiv z \pmod{11}$

и если записать уравнение в виде
$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=180(xy+yz+zx)$

нетрудно показать что все должны делится на 11.

[Null]

$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=176(xy+yz+zx)$

[Shadow]

арифметика
Но все равно так левая часть делится на 121, а значит $xy+yz+zx \equiv 0 \pmod {11}$

[Null]

Цитата:

Я установил (компютером), что
$x \equiv y \equiv z \pmod{11}$

Покажите код программы, а то больно сильное утверждение. Если так то все числа делятся на 11.

[Shadow]

Используется синтаксис Visual Basic

Function Test(ByVal Modul As Integer) As Boolean
Dim x, y, z As Long
Test = False
For x = 0 To Modul - 1
 For y = x To Modul - 1
  For z = y To Modul - 1
   If x > 0 Or y > 0 Or z > 0 Then
   If (x * x + y * y + z * z) Mod Modul = (89 * (x * y + y * z + z * x)) Mod Modul Then
    Text1.Text = Text1.Text & Modul & " - " & x & ", " & y & ", " & z & Chr(13) & Chr(10)
    DoEvents
    Test = True
   '' Exit Function
   End If
   End If
  Next z
 Next y
Next x
End Function

Можно тествовать только по модулю 11
Результат - только одинаковые остатки (причем все) по модулю 11 дают равенство

[Null]

Ну да. ошибся если $x^2+xy+y^3\vdots 11$ то $x\vdots 11,y \vodts 11$

-- Ср дек 25, 2013 14:40:18 --

$11=3k+2$

(Оффтоп)

Почему сообщения то можно править, то нельзя

[rightways]

Спасибо!!!!! Я думал что никто не решит =)

[scwec]

Возможно, осталось незамеченным, что в условии задачи можно заменить $89$ на $N=11k+1$, где $k$ натуральное число, в каноническом разложении которого на простые числа степень $11$ чётна (в том числе нуль).

[arqady]

Для $N=4k-1$ помогает чётность.
А как быть, если $N=5$?