Дифракция на щели(отверстии)

[Hostage]

Само задание выглядит таким образом
Электрон, имеющий длину волны де-Бройля 0,5 мкм движется в направлении отверстия в экране. Диаметр отверстия 2 мкм. На какой угол (или углы) электрон "точно" не отклонится от направления своего первоначального движения?
Указание: (посмотреть дифракцию на щели:это проще; на отверстии:это сложнее)
Я прочитал про дифракцию на щели, но каким образом можно определить угол отклонения электрона не очень понял. Нашел только как определить углы, при которых достигается минимальная и максимальная интенсивность. Но я так понимаю не обязательно все возможные варианты углов отклонения лежат в промежутке между этими двумя. Подскажите каким образом это понять?

[DimaM]

Возможно, имеются в виду углы, при которых амплитуда дифрагированной волны нулевая?

[Hostage]

DimaM в сообщении #804762 писал(а):

Возможно, имеются в виду углы, при которых амплитуда дифрагированной волны нулевая?

Я об этом подумал, но мне почему-то показалось, что это не оно...
В общем еще поискав нашел, что частица, пролетев через щель, может вылететь в любом направлении в пределах угла 2*fi. Как на картинке в общем.

То есть получается в принципе мне нужно найти только этот угол fi каким-то образом, и тогда я смогу сказать, что все значения кроме этого fi невозможны? Или я что-то недопонимаю?

[Xey]

Кроме центрального , нулевого максимума, будут и другие.

[DimaM]

Hostage в сообщении #804859 писал(а):

В общем еще поискав нашел, что частица, пролетев через щель, может вылететь в любом направлении в пределах угла $2\varphi$. Как на картинке в общем.

Неверная картинка.
Для дифракции на щели амплитуда от угла зависит приблизительно как $\sin(k\Delta x\sin\varphi)/(k\Delta x\sin\varphi)$ (где $k$ - волновой вектор), так что будут дополнительные максимумы, а между ними нули.

[Hostage]

А, точно... Там просто рассматривается ситуация когда поток электронов проходит, и соответственно сказано, что остальными максимумами можно пренебречь, так как подавляющее большинство вылетят в пределах угла 2*fi
Ну тогда я вообще не понимаю что делать... Всё-таки нужно найти при каких углах будет нулевая амплитуда? Но внятной формулы для вычисления амплитуды я не нашёл...

[DimaM]

Hostage в сообщении #805009 писал(а):

Но внятной формулы для вычисления амплитуды я не нашёл...

Для щели я выше формулу написал (лучше, конечно, ее проверить, я мог в аргументе где-нибудь двойку потерять).
Для круглого отверстия будет функция Бесселя $J_1$. Можно поглядеть Батыгин, Топтыгин "Сборник задач по электродинамике", задача 475 (издание 1970).
Для щели легко выводится самостоятельно.

[Hostage]

-- 23.12.2013, 14:44 --

Цитата:

Для дифракции на щели амплитуда от угла зависит приблизительно как $\sin(k\Delta x\sin\varphi)/(k\Delta x\sin\varphi)$ (где $k$ - волновой вектор).

А может $\sin((k\Delta x\sin\varphi)/2)/((k\Delta x\sin\varphi)/2)$ ?
И $\k\ = 2\pi/\lambda$ ?

[DimaM]

Hostage в сообщении #805029 писал(а):

А может $\sin((k\Delta x\sin\varphi)/2)/((k\Delta x\sin\varphi)/2)$ ?

Скорее всего именно так. Я двойку запросто мог потерять.

Hostage в сообщении #805029 писал(а):

И $k\ = 2\pi/\lambda$ ?

Ага.

[Hostage]

Получается нужно найти при каких значениях угла это выражение обращается в ноль?

-- 23.12.2013, 16:46 --

То есть
$\varphi = 2\pi k_1 + \sin^{-1}(\frac{k_2}{4}), k_1, k_2 \in \mathbb Z$

[DimaM]

Hostage в сообщении #805054 писал(а):

То есть
$\varphi = 2\pi k_1 + \sin^{-1}(\frac{k_2}{4}), k_1, k_2 \in \mathbb Z$

Угол лежит в промежутке $[0,\pi/2]$ .

[Hostage]

Цитата:

Угол лежит в промежутке $[0,\pi/2]$ .

Как вы это поняли? О_о

-- 23.12.2013, 18:54 --

Еще раз бы всё рассуждение с начала...
Получается, что если мы хотим узнать какие углы электрон "точно" не отклонится, нужно найти такие углы, для которых амплитуда нулевая. Амплитуда в свою очередь находится по формуле

$\frac{\frac{\sin (k\Delta x\sin\varphi)}{2}}{\frac{k\Delta x\sin(\varphi)}{2}}$

$k = \frac{2\pi}{\lambda}$

После того как подставим все известные величины получается, что
$\frac{\sin(4\pi\sin\varphi)}{4\pi\sin\varphi} = 0$

Решаем уравнение и в итоге получаем
$\varphi = 2\pi k_1 + \frac{1}{\sin(\frac{k_2}{4})}, k_1,k_2\in\mathbb Z$

Если я правильно понимаю $k_1$ может быть только 0, поэтому для нас имеет значение только 2 слагаемое. То есть $\varphi = \sin^{-1}(\frac{k_2}{4})$
Или я что-то упустил?

[Hostage]

И насчет промежутка - вы имели в виду, что все возможные значения угла ДОЛЖНЫ лежать в этом промежутке? И из этого я еще могу как-то упростить выражение для угла? Не совсем понимаю что делать дальше

-- 23.12.2013, 20:45 --

И немного недопонимаю вывод формулы для щели.
Начинается с записи принципа Гюйгенса

Я правильно понимаю, что $\Psi$ - это амплитуда? Но что такое $\Psi'$?
Далее после определенных преобразований приходим к

Где

Если я оказался прав, и $\Psi$ это на самом деле амплитуда, получается что это почти формула, которую я использовал. Но в данной формуле есть еще константа $aC$. $a$ - ширина щели. Куда она делась?

[DimaM]

Hostage в сообщении #805175 писал(а):

И насчет промежутка - вы имели в виду, что все возможные значения угла ДОЛЖНЫ лежать в этом промежутке

Поглядите на картинку: видно ведь, что больше, чем на $\pi/2$, электрон отклониться не может (вас же интересуют проходящие через щель вперед).

Hostage в сообщении #805175 писал(а):

Но в данной формуле есть еще константа $aC$. $a$ - ширина щели. Куда она делась?

Это константа определяет интенсивность падающего пучка электронов. Поскольку вы будете приравнивать амплитуду к нулю, вас эта константа волновать не должна.

[Hostage]

DimaM в сообщении #805365 писал(а):

Поглядите на картинку: видно ведь, что больше, чем на $\pi/2$, электрон отклониться не может (вас же интересуют проходящие через щель вперед).

Да, да, я просто сначала удивился - решил, что это Вы ответ уже написали Понятно, что в обратном направлении он двигаться не может. Спасибо за помощь.
Еще такой вопрос - нашел, что при определенных допущениях мы можем сказать, что после прохождения щели волна будет заключена в пределах угла $\varphi = \frac{\lambda}{2d}$. Компанеец Что такое квантовая механика? 1977. Это какая-то грубая оценка?