Задача по теории вероятностей

[Otta]

(Оффтоп)

Круто. А что если число делится на три, то остаток от деления равен нулю, Вы тоже... того....столбиком выяснять будете?

Посмотреть на остаток $x^2$ в зависимости от остатка $x$.

[Vasiliev95]

Да ладно, как-то не доходит до меня, поэтому посчитал вероятность по 1 способу, получилось $P = \frac{80}{144} = 0,556$
Спасибо большое за помощь!

[arseniiv]

Эмм, чему же не доходить? $(3m + 1)^2 = 9m^2 + 6m + 1$. Остаток 1 переходит в остаток 1 (остальные слагаемые правой части делятся на 3). Остальные теперь знаете как проверить!

[Vasiliev95]

arseniiv
а почему именно $(3m+1)^2$?

[arseniiv]

Число, дающее 1 в остатке от деления на 3 — это число, представимое в виде $3m + 1$ (где $m$ — целое, конечно). Вытекает из определения остатка от деления. (Он ведь не процедурой деления уголком определяется!)

[Vasiliev95]

arseniiv
аа, хах, конечно же, всё ясно, спасибо
Но, я так и не понял, как сосчитать благоприятные исходы
Есть элементарное пространство $W = \{(0;0), (0;1), ..., (2;2)\}$.
Всего может быть 9 элементарных исходов, верно?

[provincialka]

Табличку $3\times3$ нарисуйте, в каждой клетке проставьте нужный остаток. Подсчитайте число нулей.

[arseniiv]

Vasiliev95 в сообщении #804617 писал(а):

2) $x^2 - y^2$ - делится на 3

Это означает, что остатки у обоих квадратов одинаковые. (Заметив это, быстрее составить таблицу — считать меньше.)

[Vasiliev95]

$(0;0) (0;1) (0;2)$
$(1;0) (1;1) (1;2)$
$(2;0) (2;1) (2;2)$
Благоприятные исходы, это когда остатки равны, т.е тут их 3, верно?

[provincialka]

Нет, не три. У вас же уже был правильный ответ (только вы его, почему-то, не сократили). Вам ведь нужны остатки не самих чисел, а их квадратов.

[Vasiliev95]

Ну, я понимаю, что должно получится $\frac{5}{9}$, но не могу понять, как вот эти 9 исходов связать со своими 12 числами

[provincialka]

Не с двенадцатью, с тремя. Числа 1,2, ..., 12 имеют остатки 1,2,0,1,2,0,1,2,0,1,2,0, а их квадраты - остатки 1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0. Вот и составьте таблицу $3\times 3$, в заголовках строк и столбцов - остатки квадратов, т.е. 1,1,0.

-- 23.12.2013, 00:22 --

Можно рассуждать так. Из 12 чисел $p=\frac13$ имеют в квадрате остаток 0, а $$1-p=q=\frac23$ - остаток 1. Нужное событие имеет вид "остаток $x^2$ равен остатку $y^2$". Вот и подсчитайте его вероятность.

[Vasiliev95]

provincialka
Вот эту таблицу Вы имели ввиду?
$(1;1) (1;1) (0;0)$
$(1;1) (1;1) (0;1)$
$(1;0) (1;0) (0;1)$
по ней нормально получается ответ
Спасибо Вам большое за разъяснения и помощь!