Биссектриса угла между прямыми в пространстве

[NeBotan]

Добрый вечер. Мучаюсь с такой задачей:
Условие задачи:
Написать уравнение биссектрисы острого угла между прямыми $L=\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z+2}{1}$ и $L_1=\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{4}$

Как решил решать эту задачу? /
Т.к. мне даны канонические уравнения прямых, то решил записать выражение для угла между этими прямыми по формуле:
$\cos \phy = \frac{m_1m_2 + n_1n_2 +p_1p_2}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$.
Потом по формуле косинуса двойного угла нашел два таких же выражения для биссектрисы и соседней прямой, и вот тут застрял. Получилась система из двух уравнений, где нужно найти 3 неизвестных.

Были мысли найти общую точку двух этих прямых, но формулу для ее нахождения в пространстве так и не нашел. Подскажите пожалуйста, как довести пример до конца.

[arseniiv]

Кстати, биссектриса состоит из точек, одинаково удалённых от обоих прямых.

NeBotan в сообщении #804825 писал(а):

Были мысли найти общую точку двух этих прямых, но формулу для ее нахождения в пространстве так и не нашел.

А почему бы просто не решить систему из уравнений первой прямой и уравнений второй прямой? Итого 4 уравнения.

[svv]

Найдите точку пересечения прямых. Биссектриса тоже через нее проходит.
Найдите направляющие векторы прямых. Приведите их к одной длине (например, единичной). Их сумма (или разность) будет направляющим вектором биссектрисы.

[NeBotan]

Цитата:

Кстати, биссектриса состоит из точек, одинаково удалённых от обоих прямых.

А как в пространстве связать ее с двумя прямыми?

По поводу 4 уравнений понял, сейчас найду эту точку. Но тогда у меня остается вопрос, как связать уравнение биссектрисы с тем, что все ее точки равноудалены от прямых, образующих угол? мне останется найти m, n, p - для биссектрисы.

-- Вс дек 22, 2013 21:43:35 --

Решил 4 уравнения. получил точку $(0, -2, -3)$.

[arseniiv]

Почитайте теперь сообщение svv. Может, вам проще будет найти направляющие векторы.

[NeBotan]

Получилось так:

1. Направляющие вектора прямых:
$S = (1,0,1), S_1 = (1,1,4)$
2. Длины направляющих векторов:
$|S|=\sqrt{2}, |S_1| = \sqrt{18}$

3. Привожу второй вектор к длине $\sqrt{2}$. Получилось
$ (S_1') =(1/3, 1/3, 4/3) $

4. Вычитаю вектора и нахожу направляющий вектор биссектрисы:

$S_1'-S1 = (-2/3, 1/3, 1/3)$

5. Получаю каноническое уравнение биссектрисы:
$L_0 : \frac{-3x}{2}=\frac{3(y+2)}{1}=\frac{3(z+3)}{1}$

Правильно? Если да, то у меня только 1 вопрос: как понять, складывать или вычитать нужно направляющие вектора, чтобы найти биссектрису именно острого угла? На сколько я понял, в одном случае будет биссектриса острого, а в другом - тупого углов. Как понять, какую биссектрису нашел я?

[_Ivana]

Скалярное произведение должно помочь.

[svv]

NeBotan в сообщении #804850 писал(а):

3. Привожу второй вектор к длине $\sqrt{2}$

«Нет, уж лучше вы к нам». Лучше, наоборот, первый вектор привести к длине $\sqrt{18}$, потому что $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, то есть второй вектор в 3 раза длиннее первого, поэтому первый нужно просто умножить на $3$ (дробей не будет!)

[NeBotan]

Цитата:

«Нет, уж лучше вы к нам». Лучше, наоборот, первый вектор привести к длине $\sqrt{18}$, потому что $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, то есть второй вектор в 3 раза длиннее первого, поэтому первый нужно просто умножить на $3$ (дробей не будет!)

Согласен, неаккуратненько получилось.

Цитата:

Скалярное произведение должно помочь.

А как оно мне поможет? Точнее, какие вектора перемножать?

[svv]

Если скалярное произведение направляющих векторов больше нуля, угол между ними ... забыл, не напомните?

[arseniiv]

Бабушки говорят, что иногда прямые острого угла не образуют вообще.

Надеюсь, тут всё с этим хорошо…

[NeBotan]

Острый.
Тогда я складываю направляющие вектора прямых, чтобы получить направляющий вектор биссектрисы.
Если произведение меньше нуля, то вычитаю.

Спасибо вам большое! и с Наступающим всех участников форума Новым Годом!

[svv]

Спасибо за поздравление! Успехов в учебе и всем остальном.