Что такое сопряженный функтор

[Chernoknizhnik]

Дайте мне, пожалуйста, аккуратное определение сопряженного функтора. Не хочу искать в литературе, чтобы избежать терминологических препятствий. Видел такое определение:
Пусть $\mathcal{K}_1$ и $\mathcal{K}_2$ - две категории. Если пара функторов $F:\mathcal{K}_1\longrightarrow \mathcal{K}_2$ и $G:\mathcal{K}_2\longrightarrow \mathcal{K}_1$, связана функториальным по $X\in \mathrm{Obj}(\mathcal{K}_1)$ и $Y\in \mathrm{Obj}(\mathcal{K}_2)$ изоморфизмом $\mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_2}(F(X),Y)\simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_1}(X,G(Y))$, то $F$ называется левым сопряженным к $G$, а $G$ - правым сопряженным к $F$.
Вот скажите мне, что такое "функториальный по $X$ изоморфизм".

[apriv]

Chernoknizhnik в сообщении #804614 писал(а):

Не хочу искать в литературе

Мда.
Вот посмотрите на это требование: должен существовать изоморфизм

Цитата:

$\mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_2}(F(X),Y)\simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_1}(X,G(Y))$

Оно, если вдуматься, само по себе достаточно глупое. Слева и справа стоят просто множества, без всяких дополнительных структур. Два множества изоморфны тогда и только тогда, когда они просто-напросто равномощны. Ну, мало ли когда эти множества равномощны — например, оказалось, что они случайно оба счетны. Определение сопряженного функтора все-таки требует, чтобы эти изоморфизмы для каждой пары $X,Y$ были не какими попало, а согласованными с морфизмами. Дело в том, что если заменить $X$ на $X'$ посредством морфизма $f\colon X\to X'$ в первой категории, то возникнет (по определению функтора) морфизм $F(f)\colon F(X)\to F(X')$, а отсюда (по функториальности $\mathrm{Hom}$) — морфизмы $\mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_2}(F(X'),Y)\to \mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_2}(F(X),Y)$ и $\mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_1}(X',G(Y))\to \mathrm{Hom}_{\mathcal{K}_1}(X,G(Y))$. Определение сопряженности говорит не только то, что между левыми частями этих морфизмов есть изоморфизм, и между правыми частями этих морфизмов есть изоморфизм, но и что они согласованны, то есть, переходят друг в друга посредством указанных морфизмов. Нарисуйте диаграмму из этих четырех $\mathrm{Hom}$-ов — она должна быть коммутативной. Аналогичное происходит при замене $g\colon Y\to Y'$ (с поправкой на ковариантность $\mathrm{Hom}$ по второму аргументу.

[Chernoknizhnik]

Спасибо!

apriv в сообщении #804643 писал(а):

Chernoknizhnik в сообщении #804614 писал(а):

Не хочу искать в литературе

Мда.

Не хочу, чтобы это звучало оправданием, но у меня сессия:)