Четверной интеграл

[bobadila]

$\iiiint{zdxdydzdt}$, на множестве $x^2+y^2 \leqslant 2xz \leqslant z^2+t^2 \leqslant 4$.
Пробовал полярную замену, но с помощью ее приходим к $\rho^2\leqslant2\rho \sin(\varphi) r \sin(\theta) \leqslant r^2$, что, в общем, не несет ничего хорошего. Решать без замены - огромное количество неравенств на $z$ или на любую другую переменную, по которой будем интегрировать в первый раз. Чувствую, что есть какой-то прорывной подход, но какой?

[alcoholist]

если я правильно понимаю, то область можно задать так:

$$ 0\le r\le 2,\quad 0\le \rho\le r,\quad \rho/r\le2\sin\theta\sin\varphi\le r/\rho $$

[mihiv]

Скорее всего это устный экзаменационный вопрос.
Если точка $(x_i,y_i,z_i,t_i)$ лежит в области интегрирования, то и точка $(-x_i,y_i,-z_i,t_i)$, лежит в области интегрирования. Поэтому в интегральной сумме слагаемые можно разбить на пары вида: $z_i\Delta x\Delta y\Delta z\Delta t+(-z_i)\Delta x\Delta y\Delta z\Delta t$. Интеграл равен 0.

[bobadila]

alcoholist
Так-то оно так, но к тому времени подынтегральная функция будет уже $r^2 \rho \sin \theta$, и потом когда будем интегрировать углы, полезет арккосинус от неприятного аргумента, и обильное количество случаев на знак.

[Otta]

bobadila, Вам же mihiv ответил.