Найти аналитическое выражение для АЧХ цепи

[staspower]

http://dropmefiles.com/t1t2p
Здравствуйте, по 2 схеме нужно построить АЧХ и ФЧХ цепи. Я попробовал это сделать, записал аналитическое выражение для коэффициента передачи и попытался построить, но явно видно, что график не правльный. Прошу помощи.
Вот мое решение:
U1= U входа, U2= U выхода
$ I=U_1/(X_c+R+X_L); U_ 2=IX_L=U_1X_L/(X_c+X_L+R); k=U_ 2/U_ 1=X_L/(X_c+X_L+R)=1/((X_c/X_L)+(R/X_L)+1)= =1/(1-(1/wCwL)+R/jwL) abs(k)=1/((1-1/wCwL)^2+(R/wL)^2)$
Все ли верно в этом аналитическом выражении?
За написание формул извиняюсь, тороплюсь

[profrotter]

Корень квадратный кое-где.

Неплохо бы опознать также параметры $\frac {1}{\sqrt{LC}}$ и $\frac {R}{2L}$. Хотя и не обязательно, если не было.

[staspower]

profrotter в сообщении #803634 писал(а):

Корень квадратный кое-где.

Неплохо бы опознать также параметры $\frac {1}{\sqrt{LC}}$ и $\frac {R}{2L}$. Хотя и не обязательно, если не было.

Да, корень само собой, потерял в процессе записи.
Зачем здесь выделять коэф. затухания и частоту для построения АЧХ?
Можно прикинуть каким будет график взять w=0 и w= бесконечность. K(0)=0, а K(бесконечность)=1, то есть график выходит из нуля и возрастает до 1, но при построении в Mathcad такого не получается.

[profrotter]

staspower в сообщении #803761 писал(а):

Зачем здесь выделять коэф. затухания и частоту для построения АЧХ?

Не частоту, а резонансную частоту. Вероятно затем, чтобы вспомнить таинство резонанса и условия тому соответствующие и не помышлять такого:

staspower в сообщении #803761 писал(а):

Можно прикинуть каким будет график взять w=0 и w= бесконечность. K(0)=0, а K(бесконечность)=1, то есть график выходит из нуля и возрастает до 1, но при построении в Mathcad такого не получается.

[staspower]

$ abs(k)=1/((1-1/wCwL)^2+(R/wL)^2)=1/\sqrt{(1-1/w^2\sqrt{1/LC}\sqrt{1/LC})^2+(2B/w)^2}$
Не понимаю как еще можно выделить $\sqrt{1/LC}.$
Как использовать резонанс в данном случае? Рассматривать то, что при резонансе комплексное сопротивление носит активный характер?

[profrotter]

Я бы с самого начала сделал чуть-чуть иначе:

$$K(\omega)=\frac{j\omega L}{R+\frac{1}{j\omega C}+j\omega L}=\frac{-\omega^2 LC}{j\omega RC+1-\omega^2 LC}=$$

$$=\frac{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2}{1+j\omega \frac{RCL}{L}-\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2}=\frac{\nu^2}{1+jd\nu-\nu^2},$$

где $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ - резонансная частота, $d=R\sqrt{\frac{C}{L}}=\frac{1}{Q}$ - затухание колебательного контура, $Q$ - добротность, $\nu=\frac{\omega}{\omega_0}$ - нормированная частота.
Для АЧХ

$$|K(\omega)|=\frac{\nu^2}{\sqrt{(1-\nu^2)^2+d^2\nu^2}}.$$

В этом виде удобно строить график - мы получили семейство кривых с параметром $d$. Чтобы провести прикидочный анализ поведения кривых последнее выражение перепишем в виде:

$$|K(\omega)|=\frac{\nu^2}{\sqrt{1+(d^2-2)\nu^2+\nu^4}}$$

Теперь смотрите: кроме анализа ситуации в нуле и на бесконечности, обращает на себя внимание, что в знаменателе под корнем у нас парабола относительно $\nu^2$, ветви этой пораболы направлены вверх, то есть где-то есть локальный минимум. Координата минимума пораболы по известной формуле $\nu^2_{\min}=-\frac{d^2-2}{2}$. Если $d>\sqrt{2}$, этот минимум отбрасываем, так как $\nu^2>0$. Если $d<\sqrt{2}$, то минимум учитываем, а при малых затуханиях $d<<1$ (больших добротностях $Q>>1$) $\nu^2_{\min}=1$, то есть минимум приходится аккурат на резонансную частоту.

Между тем числитель АЧХ монотонен. Следовательно на частоте $\omega = \omega_0\nu_{\min}=\sqrt{\frac{2-d^2}{2}}$, при $d<\sqrt{2}$ имеет место локальный максимум. При больших добротностях частота этого максимума близка к $\omega_0$.

Физически это означает существование в рассматриваемой цепи такого частотного режима, в котором в стационарном режиме при гармоническом воздействии наблюдается возрастание амплитуды гармонического сигнала на выходе цепи при приближении частоты к определённому значению. Такой частотный режим называется резонансом.

Вообще это хорошо, что Вы не доверяете маткаду. Но не доверяйте тогда как следует. А следовало бы вам рассмотреть и производную вашей функции и проанализировать её на предмет наличия корней, что указало бы вам на наличие локальных экстремумов. Иначе было бы очень просто: рассмотрел нуль и бесконечность и построил график. Но всё вокруг как будто бы против нас и приходится думать.

[ewert]

profrotter в сообщении #803803 писал(а):

Между тем числитель АЧХ монотонен. Следовательно

Нет, не следовательно. Но зато можно опустить числитель вниз под корень, где при этом появится ровно такое же выражение для обратной частоты, и вот тогда действительно следовательно.

[profrotter]

ewert в сообщении #803805 писал(а):

Нет, не следовательно. Но зато можно опустить числитель вниз под корень, где при этом появится ровно такое же выражение для обратной частоты, и вот тогда действительно следовательно.

Ничего не понял. В чём конкретно ваше возражение относительно моих качественных рассуждений? (Так то тут вообще ничего не следовательно в строгом смысле, пока не берётся производная.)

[ewert]

profrotter в сообщении #803825 писал(а):

В чём конкретно ваше возражение относительно моих качественных рассуждений?

В том, что только из поведения знаменателя и монотонности числителя ровно ничего не следует для всей дроби.

profrotter в сообщении #803825 писал(а):

тут вообще ничего не следовательно в строгом смысле, пока не берётся производная

Очень даже следует, поскольку всё сводится просто к квадратному трёхчлену.

[profrotter]

Написал же:

profrotter в сообщении #803803 писал(а):

прикидочный анализ поведения кривых

Пусть не следует. Давайте контрпример. Всем будет интересно. Чего в пустую придираться.
-- Пт дек 20, 2013 13:19:41 --

ewert в сообщении #803827 писал(а):

Очень даже следует, поскольку всё сводится просто к квадратному трёхчлену.

И что? Следовать то оно следует, да становится запутнным и оперировать приходится с параметром, физический смысл которого непонятен. Это не нужно тут.

[ewert]

profrotter в сообщении #803829 писал(а):

Давайте контрпример.

Берите: $\frac{x+1}{x^2-x+1}$ монотонно убывает при положительных иксах, несмотря на то, что числитель монотонен, а у знаменателя есть точка минимума.

Кстати, и результат просто формально неверен:

profrotter в сообщении #803803 писал(а):

ветви этой пораболы направлены вверх, то есть где-то есть локальный минимум. Координата минимума пораболы по известной формуле $\nu^2_{\min}=-\frac{d^2-2}{2}$.

Для самого знаменателя -- да, именно там. А вот с учётом числителя -- в точности наоборот: $\nu^2_{\min}=-\frac{2}{d^2-2}$.

[profrotter]

Я поправлюсь:
"Между тем числитель АЧХ монотонен. Следовательно Поэтому на частоте $\omega = \omega_0\nu_{\min}=\sqrt{\frac{2-d^2}{2}}$, при $d<\sqrt{2}$ имеет место локальный максимум может иметь место локальный максимум." Спасибо, ewert, что прочитали моё длинное сообщение и обнаружили это досадное недоразумение.

ewert в сообщении #803835 писал(а):

Кстати, вот это формально неверно:

profrotter в сообщении #803803 писал(а):

ветви этой пораболы направлены вверх, то есть где-то есть локальный минимум. Координата минимума пораболы по известной формуле $\nu^2_{\min}=-\frac{d^2-2}{2}$.

Т.е. окончательный-то результат верен, но только с учётом числителя. А для самого знаменателя точка минимума была бы ровно наоборот.

Подскажите, где я ошибся:
Обозначим $x=\nu^2$, $b=d^2-2$ тогда подкоренное выражение знаменателя получится в виде: $f(x)=x^2+bx+1$. Производная $f'(x)=2x+b$ имеет нуль в $x_0=-\frac{b}{2}=-\frac{d^2-2}{2}$. $f'(x)$ - монотонно - возрастающая, прямая. Значит до $x_0$ она меньше нуля и $f(x)$ убывает, а после $x_0$ она больше нуля и $f(x)$ возрастает. Тогда $x_0$ - абсцисса минимума $f(x)$. Я не вижу никакой связи с числителем.

[ewert]

profrotter в сообщении #803829 писал(а):

Следовать то оно следует, да становится запутнным

Ага, ну просто безумно запутанным: $\nu^{-4}+(d^2-2)\nu^{-2}+1=\min$, откуда $\nu^{-2}=1-\frac{d^2}{2}$.

У Вас просто ответ неверен (я уже поправился).

[profrotter]

ewert в сообщении #803840 писал(а):

У Вас просто ответ неверен (я уже поправился).

Видел. Согласен.

[staspower]

Спасибо за столь развернутые комментарии. Не ожидал такой углубленности в математику, которую я успешно уже забыл. Задание в общем то по электронике, то есть главное получить верное аналитическое выражение и хотя бы примерный вид АЧХ с использованием нескольких ключевых точек, без изысков. Будет правильным , если я построю АЧХ по этому выражению , в которое входит нормированная частота? Просто не совсем понятен ее физический смысл.