Оценить расстояние

[vlad_light]

Пусть $p_n(x)=\sum\limits _{k=0}^nc_kx^k$. Мне нужно оценить

$$\max \limits _{x\in [a,b]}d(\mathbf x,\mathbf y),$$

где $\mathbf x=(x, p_n(x))$, $\mathbf y=(x+\varepsilon ,p_n(x+\varepsilon ))$; $\varepsilon \to 0$. Начинаю так:

$$d(\mathbf x,\mathbf y)=|x-(x+\varepsilon )|+ |p_n(x)-(p_n(x+\varepsilon ) )|=|\varepsilon |+|\sum\limits _{k=0}^nc_k(x+\varepsilon )^k - \sum\limits _{k=0}^nc_kx^k |=$$

$$=|\varepsilon |+|\sum\limits _{k=0}^nc_k\sum\limits _{m=0}^kC_k^mx^m\varepsilon ^{k-m}- \sum\limits _{k=0}^nc_kx^k |$$

Как дальше оценивать?

[Otta]

Вы бы сперва почленно вычли из $c_k(x+\varepsilon)^k-c_kx^k$, мне кажется, было бы лучше.

[vlad_light]

А можно чуть подробнее, а то пока не понял, чем оно лучше?

[Otta]

А вот еще уточните, пожалста:
правильно ли я понимаю, что Вам нужен

$$\lim_{\varepsilon\to 0}\max \limits _{x\in [a,b]}d(\mathbf x,\mathbf y(\varepsilon).$$

Иначе Ваш предельный переход остается никуда не приткнутый.

[vlad_light]

Нет, это я условно написал $\varepsilon \to 0$, имея ввиду, что $\varepsilon$ -- очень маленькое. Простите, что ввёл в заблуждение Я хочу получить что-то типа

$$\max\limits _{x\in [a,b]}d(\mathbf x,\mathbf y)\leq f(n, \varepsilon )$$

Можно брать конкретное $n$, если это поможет...

[Otta]

Имхо, самое прямолинейное - воспользоваться теоремой Лагранжа.

[vlad_light]

Так?

$$...\leq |\varepsilon \max \limits _{x\in [a,b]}\tilde p_{n-1}(x)|$$

Для больших $n$ оценка грубоватая. Не подскажите, какие условия можно наложить на $p_n(x)$, чтоб улучшить оценку?
И ещё хотелось бы снизу оценить. Тут что-то подскажите?

[Otta]

vlad_light, совершенно невозможно ответить как лучше, что можно наложить и т.д., не понимая, что Вы делаете и зачем. Будет лучше, если Вы напишете исходную задачу или контекст, в котором Вам нужны эти оценки. Опять же, надо знать также, и для чего они нужны.

[vlad_light]

Хорошо.
У меня есть набор $A=\{a_1,a_2,...,a_n\}\subset \mathbb Z$. Я создаю случайный многочлен $p(x)$ степени $r<n$ и считаю $p(A)\subset \mathbb Z$. Далее я генерирую случайные числа $\{v_1,v_2,...,v_m\}=V,\{w_1,w_2,...,w_m\}=W\subset \mathbb Z$, где $p(V)\cap W=\varnothing$. Положим $T:=(A,p(A))\cup (V, W)$.
На вход подаётся набор $B=\{b_1, b_2,...,b_k\}\subset \mathbb Z, k<n$ и множество $T$. Нужно проверить, выполняется ли $p(B\cap A)=p(B)$ при условии, что ни $A$, ни $p$ не дано.
Пусть $|B\cap A|>r+1$. Тогда я могу восстановить многочлен $p$, используя множества $C\subset B\cap A, |C|=r+1$ и $T$ с помощью многочлена Лагранжа, а затем посчитать $p((B\cap A)\setminus C)$ и сравнить с $T$.
Допустим, у меня также есть другой набор $A'=\{a_1',a_2',...,a_n'\}\subset \mathbb Z$ с тем же многочленом $p$. Аналогично строим $T'$. Но теперь на вход нам дают не $B'$, а $B'+\varepsilon $.
Возможно, что-то написал неправильно, завтра постараюсь исправить.
Я хотел узнать, можно ли оценить $d(p(A'\cap B'), p(B'+\varepsilon ))$ при известных $p$ и $\varepsilon$; т.е. чтоб можно было сразу сделать вывод: либо точно $p(A'\cap B')\neq p(B')$, либо возможно $p(A'\cap B')= p(B')$.